Um triângulo ABC é retângulo em A. Sabendo que BC=5 e ABC=30 GRAUS, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC é:
a) 3,025 3
b) 3,125 3
c) 3,225 3
d) 3,325 3
e) 3,425 3
a) 3,025 3
b) 3,125 3
c) 3,225 3
d) 3,325 3
e) 3,425 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo $ ABC $, onde o ângulo reto está no vértice $ A $. Sabemos que o lado $ BC $ mede 5 unidades e o ângulo $ ABC $ é de 30 graus. Nosso objetivo é encontrar a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre triângulos retângulos e como calcular a área usando as medidas dos lados e ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, como o $ ABC $, o lado oposto ao ângulo de 30 graus é o menor dos dois catetos. Aqui, o lado $ AB $ está oposto ao ângulo de 30 graus. Sabemos que o lado $ BC $ é a hipotenusa e mede 5 unidades.
Passo 3
Em um triângulo retângulo de 30-60-90 graus, os lados têm proporções específicas. A hipotenusa é o lado mais longo, e o lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa. Então, se $ BC = 5 $, então $ AB = \frac{5}{2} = 2,5 $ unidades.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o outro cateto, que é $ AC $. Sabemos que em um triângulo 30-60-90, o lado oposto ao ângulo de 60 graus é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ vezes a hipotenusa. Então:
Passo 5
Com os comprimentos dos dois catetos ($ AB = 2,5 $ e $ AC = \frac{5\sqrt{3}}{2} $), podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula da área para um triângulo retângulo:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor numérico aproximado dessa área. Sabemos que $ \sqrt{3} \approx 1,732 $:
Resposta
A área do triângulo $ ABC $ é aproximadamente $ 5,4125 $ unidades quadradas. Observando as opções, a mais próxima é a letra c) 3,225³.