A turma do último ano de Engenharia está organizando uma rifa para auxiliar no pagamento da festa de formatura. Eles pretendem vender 1.200 rifas, cada uma por R$ 5,00, e os possíveis prêmios para os ganhadores serão: R$ 50,00 para o primeiro sorteado, R$ 100,00 para o segundo sorteado e R$ 250,00 para o terceiro sorteado. Sabendo disso, responda o que se pede:
a) Construa a distribuição de probabilidade para os possíveis lucros — ou resultados.
b) Utilizando a distribuição de probabilidades, encontre o valor esperado E(x).
c) Interprete o resultado obtido na alternativa anterior: espera-se ganhar ou perder quanto por cada “rifa” comprada?
a) Construa a distribuição de probabilidade para os possíveis lucros — ou resultados.
b) Utilizando a distribuição de probabilidades, encontre o valor esperado E(x).
c) Interprete o resultado obtido na alternativa anterior: espera-se ganhar ou perder quanto por cada “rifa” comprada?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A turma do último ano de Engenharia está organizando uma rifa para ajudar a pagar a festa de formatura. Eles vão vender 1.200 rifas, cada uma por R$ 5,00. Os prêmios são R$ 50,00 para o primeiro sorteado, R$ 100,00 para o segundo e R$ 250,00 para o terceiro. Nosso objetivo é:
a) Construir a distribuição de probabilidade para os possíveis lucros.
b) Calcular o valor esperado $ E(x) $.
c) Interpretar esse valor esperado: espera-se ganhar ou perder quanto por cada rifa comprada?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre probabilidade e valor esperado. Vamos passo a passo!
Passo 2
Letra a: Construindo a distribuição de probabilidade para os possíveis lucros.
Primeiro, precisamos identificar todos os resultados possíveis e calcular a probabilidade de cada um.
Total de rifas vendidas: 1.200
Preço por rifa: R$ 5,00
Total arrecadado: $ 1.200 \times 5 = R$ 6.000,00 $
Preço por rifa: R$ 5,00
Total arrecadado: $ 1.200 \times 5 = R$ 6.000,00 $
Prêmios:
- Primeiro prêmio: R$ 50,00
- Segundo prêmio: R$ 100,00
- Terceiro prêmio: R$ 250,00
Custos totais com prêmios: $ 50 + 100 + 250 = R$ 400,00 $
Agora, vamos pensar nos possíveis lucros:
- Nenhum prêmio ganho: Se a pessoa não ganhar nenhum prêmio.
- Ganha o primeiro prêmio: Recebe R$ 50,00.
- Ganha o segundo prêmio: Recebe R$ 100,00.
- Ganha o terceiro prêmio: Recebe R$ 250,00.
Vamos calcular a probabilidade de cada evento.
-
Probabilidade de não ganhar nenhum prêmio:Existem 1.200 rifas e 3 prêmios. Então, a pessoa ganha na sua rifa se for uma das 3 premiadas. A probabilidade de não ganhar é:
-
Probabilidade de ganhar o primeiro prêmio:
-
Probabilidade de ganhar o segundo prêmio:
-
Probabilidade de ganhar o terceiro prêmio:
Distribuição de Probabilidade:
Resultado | Probabilidade ($ P $) |
---|---|
Nenhum prêmio | 0,9975 |
Ganha o primeiro prêmio | 0,000833 |
Ganha o segundo prêmio | 0,000833 |
Ganha o terceiro prêmio | 0,000833 |
Passo 3
Letra b: Calculando o valor esperado $ E(x) $.
O valor esperado nos dá uma ideia de quanto, em média, esperamos ganhar ou perder por rifa. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ P(x) $ é a probabilidade de cada resultado.
- $ x $ é o lucro associado a cada resultado.
Vamos identificar os lucros:
-
Nenhum prêmio:Você paga R$ 5,00 e não ganha nada. Então, o lucro é:
-
Ganha o primeiro prêmio:Você paga R$ 5,00 e ganha R$ 50,00. O lucro é:
-
Ganha o segundo prêmio:Você paga R$ 5,00 e ganha R$ 100,00. O lucro é:
-
Ganha o terceiro prêmio:Você paga R$ 5,00 e ganha R$ 250,00. O lucro é:
Agora, aplicando na fórmula do valor esperado:
Vamos calcular cada termo:
- $ 0,9975 \times -5 = -4,9875 $
- $ 0,000833 \times 45 \approx 0,0375 $
- $ 0,000833 \times 95 \approx 0,0790 $
- $ 0,000833 \times 245 \approx 0,2040 $
Somando tudo:
Passo 4
Letra c: Interpretando o valor esperado $ E(x) $.
O valor esperado que calculamos foi de aproximadamente -R$ 4,67 por rifa comprada. Isso significa que, em média, você espera perder R$ 4,67 para cada rifa que compra.
Em outras palavras, o custo de R$ 5,00 da rifa, em média, não é totalmente recuperado pelos possíveis prêmios que você pode ganhar. A diferença negativa indica que a rifa está configurada de forma que, coletivamente, os participantes tendem a perder dinheiro para a organização da festa.
Resposta
a) A distribuição de probabilidade dos possíveis lucros é:
Resultado | Probabilidade ($ P $) |
---|---|
Nenhum prêmio | 0,9975 |
Ganha o primeiro prêmio | 0,000833 |
Ganha o segundo prêmio | 0,000833 |
Ganha o terceiro prêmio | 0,000833 |
b) O valor esperado $ E(x) $ é de aproximadamente -R$ 4,67 por rifa.
c) Espera-se perder cerca de R$ 4,67 para cada rifa comprada.