Dado o conjunto W = {(x,y,z) / y = 0} podemos afirmar que:
A) é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.
B) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da adição.
C) Não é espaço vetorial pois não obedece a propriedade da multiplicação por um escalar.
D) Não é espaço vetorial pois, apesar de obedecer as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, não possui o vetor (0, 0, 0).
E) Não é espaço vetorial pois y = 0. Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto $ W = {(x, y, z) \mid y = 0} $ e precisa descobrir se esse conjunto é um espaço vetorial. Para isso, vamos mexer com os conceitos de espaços vetoriais, o que inclui verificar se a adição de vetores e a multiplicação por escalar funcionam direitinho dentro desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ y = 0 $ para os vetores nesse conjunto. Isso quer dizer que todo vetor em $ W $ tem a forma $ (x, 0, z) $, onde $ x $ e $ z $ podem ser quaisquer números reais. Por exemplo, $ (1, 0, 3) $ ou $ (-2, 0, 5) $ estão em $ W $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer algumas propriedades, como:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar dois vetores no espaço, a soma deles também precisa estar no espaço.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do espaço por qualquer número (escalar), o resultado também precisa estar no espaço.
  3. Existência do vetor nulo: O vetor $ (0, 0, 0) $ deve estar no espaço.

Passo 4

Vamos verificar a primeira propriedade: fechamento sob adição. Pegue dois vetores de $ W $, digamos $ (x_1, 0, z_1) $ e $ (x_2, 0, z_2) $. A soma deles é $ (x_1 + x_2, 0 + 0, z_1 + z_2) = (x_1 + x_2, 0, z_1 + z_2) $, que também está em $ W $, porque a coordenada $ y $ continua sendo zero. Então, essa propriedade está ok.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda propriedade: fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor $ (x, 0, z) $ de $ W $ e multiplique por um escalar $ k $. O resultado é $ (k \cdot x, k \cdot 0, k \cdot z) = (k x, 0, k z) $, que também está em $ W $, já que $ y $ continua sendo zero. Então, essa propriedade também está ok.

Passo 6

Por último, vamos conferir a existência do vetor nulo. O vetor nulo em três dimensões é $ (0, 0, 0) $. Esse vetor satisfaz a condição $ y = 0 $, então ele está em $ W $.

Passo 7

Como $ W $ satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial (fechamento sob adição, fechamento sob multiplicação por escalar e existência do vetor nulo), podemos concluir que $ W $ é realmente um espaço vetorial.

Resposta

A opção correta é:
A) é um espaço vetorial pois obedece as propriedades da adição e da multiplicação por um escalar.

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