Um triângulo isósceles ABC de base BC está circunscrito a uma circunferência de raio 15. Sabendo que a altura do triângulo em relação a BC é 40, a área do triângulo ABC é:
a) 1 200
b) 600
c) 300
d) 450
e) 2 400​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo isósceles ABC com base BC que tem uma circunferência inscrita com raio de 15. Além disso, a altura do triângulo em relação à base BC é 40. Nosso objetivo é descobrir qual é a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de geometria envolvendo triângulos isósceles, circunferências inscritas e fórmulas de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo isósceles, dois lados são iguais. Aqui, os lados AB e AC são iguais. A altura que cai na base BC vai dividir o triângulo em dois triângulos retângulos iguais. Isso vai facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Sabemos que a altura (h) é 40 e o raio da circunferência inscrita ® é 15. Também vamos chamar o comprimento da base BC de $ b $. Nossa meta é encontrar o valor de $ b $ para depois calcular a área do triângulo.

Passo 4

A área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Área = b times h2 Á
Substituindo os valores que temos:
Área = b times 402 = 20b Á

Passo 5

Também sabemos que a área de um triângulo pode ser relacionada ao raio da circunferência inscrita ® e ao semiperímetro (s) pela fórmula:
Área = r times s Á
Onde o semiperímetro $ s $ é a metade da soma dos lados do triângulo. Como é isósceles, os lados AB e AC são iguais, digamos $ a $. Então:
s

Passo 6

Igualando as duas expressões da área que encontramos:
20b = 15 times 2a + b2
Simplificando:
20b = 15(2a + b)2
40b = 15(2a + b)
40b = 30a + 15b
40b - 15b = 30a
25b = 30a
a = 25b30 = 5b6

Passo 7

Agora, vamos usar o triângulo retângulo formado pela altura. Pelo teorema de Pitágoras:
a^2 = (b2)^2 + h^2
Substituindo $ a = \frac{5b}{6} $ e $ h = 40 $:
a = 5b6
h = 40

Passo 8

Multiplicando todos os termos por 36 para eliminar as frações:
25b^2 = 9b^2 + 57600
25b^2 - 9b^2 = 57600
16b^2 = 57600
b^2 = 5760016 = 3600
b = raiz3600 = 60

Passo 9

Agora que encontramos o valor da base $ b = 60 $, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula que já tínhamos:
b = 60 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é 1 200.

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