Um triângulo isósceles ABC de base BC está circunscrito a uma circunferência de raio 15. Sabendo que a altura do triângulo em relação a BC é 40, a área do triângulo ABC é:
a) 1 200
b) 600
c) 300
d) 450
e) 2 400
a) 1 200
b) 600
c) 300
d) 450
e) 2 400
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo isósceles ABC com base BC que tem uma circunferência inscrita com raio de 15. Além disso, a altura do triângulo em relação à base BC é 40. Nosso objetivo é descobrir qual é a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de geometria envolvendo triângulos isósceles, circunferências inscritas e fórmulas de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo isósceles, dois lados são iguais. Aqui, os lados AB e AC são iguais. A altura que cai na base BC vai dividir o triângulo em dois triângulos retângulos iguais. Isso vai facilitar nossos cálculos.
Passo 3
Sabemos que a altura (h) é 40 e o raio da circunferência inscrita ® é 15. Também vamos chamar o comprimento da base BC de $ b $. Nossa meta é encontrar o valor de $ b $ para depois calcular a área do triângulo.
Passo 4
A área de um triângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Também sabemos que a área de um triângulo pode ser relacionada ao raio da circunferência inscrita ® e ao semiperímetro (s) pela fórmula:
Onde o semiperímetro $ s $ é a metade da soma dos lados do triângulo. Como é isósceles, os lados AB e AC são iguais, digamos $ a $. Então:
Passo 6
Igualando as duas expressões da área que encontramos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos usar o triângulo retângulo formado pela altura. Pelo teorema de Pitágoras:
Substituindo $ a = \frac{5b}{6} $ e $ h = 40 $:
Passo 8
Multiplicando todos os termos por 36 para eliminar as frações:
Passo 9
Agora que encontramos o valor da base $ b = 60 $, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula que já tínhamos:
Resposta
A área do triângulo ABC é 1 200.