Se a matriz dos coeficientes de um sistema é dada por A = | 1 1 1 || 2 -3 1 || 5 0 a |qual deverá ser o valor de “a” para que o sistema seja um sistema possível e determinado? b) a ≠ 5 c) a = 5 d) a = 4 e) a ≠ 4
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de coeficientes de um sistema de equações e nos pergunta qual o valor de “a” para que o sistema seja possível e determinado. Isso envolve o conteúdo de determinantes de matrizes e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e garantir que ele seja diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema é possível e determinado quando ele tem exatamente uma solução. Isso ocorre quando a matriz dos coeficientes é inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz A e encontrar para quais valores de “a” ele não é zero.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A:
Para calcular o determinante dessa matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
Passo 4
Aplicando os valores da matriz A na fórmula do determinante:
Vamos resolver cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos:
Portanto, o determinante é:
Passo 6
Para o sistema ser possível e determinado, o determinante deve ser diferente de zero:
Resolvendo a equação:
Resposta
A alternativa correta é e) a ≠ 4.