Se a matriz dos coeficientes de um sistema é dada por A = | 1 1 1 || 2 -3 1 || 5 0 a |qual deverá ser o valor de “a” para que o sistema seja um sistema possível e determinado? b) a ≠ 5 c) a = 5 d) a = 4 e) a ≠ 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de coeficientes de um sistema de equações e nos pergunta qual o valor de “a” para que o sistema seja possível e determinado. Isso envolve o conteúdo de determinantes de matrizes e sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e garantir que ele seja diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema é possível e determinado quando ele tem exatamente uma solução. Isso ocorre quando a matriz dos coeficientes é inversa, ou seja, seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz A e encontrar para quais valores de “a” ele não é zero.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A:
A = 1 & 1 & 1 2 & -3 & 1 5 & 0 & a
Para calcular o determinante dessa matriz 3x3, usamos a seguinte fórmula:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

Passo 4

Aplicando os valores da matriz A na fórmula do determinante:
det(A) = 1 times [(-3) times a - 1 times 0] - 1 times [2 times a - 1 times 5] + 1 times [2 times 0 - (-3) times 5]
Vamos resolver cada parte:
  1. Primeiro termo:
1 times [(-3)a - 0] = -3a
  1. Segundo termo:
-1 times [2a - 5] = -2a + 5
  1. Terceiro termo:
1 times [0 + 15] = 15

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
-3a - 2a + 5 + 15 = -5a + 20
Portanto, o determinante é:
det(A) = -5a + 20

Passo 6

Para o sistema ser possível e determinado, o determinante deve ser diferente de zero:
-5a + 20 neq 0
Resolvendo a equação:
-5a neq -20 a neq 4

Resposta

A alternativa correta é e) a ≠ 4.

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