A área da intersecção de um plano com uma bola de raio 13 cm é 1441 cm. A distância do plano ao centro da bola é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma esfera com raio de 13 cm e um plano que corta essa esfera, formando uma área de intersecção de 1441 cm². Nosso objetivo é descobrir quão longe esse plano está do centro da esfera. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria espacial, especificamente a fórmula que relaciona a área da intersecção com a distância do plano ao centro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando um plano corta uma esfera. A intersecção entre um plano e uma esfera é sempre um círculo. A área desse círculo pode ser calculada usando a fórmula da área de um círculo:
onde $ r $ é o raio do círculo de intersecção.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o raio desse círculo ($ r
R = 13 $ cm) e a distância do plano ao centro da esfera ($ d $). A relação entre eles é dada por:
Isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo raio da esfera, a distância $ d $, e o raio do círculo de intersecção.
Passo 4
Como sabemos a área da intersecção ($ 1441 $ cm²), podemos substituir na fórmula da área do círculo:
Substituindo $ r $ pela expressão em termos de $ R $ e $ d $:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ d^2 $ na equação:
Substituindo $ R = 13 $ cm:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Então,
Passo 7
Aqui encontramos um problema! O valor de $ d^2 $ é negativo, o que não faz sentido porque uma distância não pode ser negativa. Isso indica que não existe um plano que, ao cortar uma esfera de raio 13 cm, forme uma área de intersecção de 1441 cm².
Resposta
Não existe tal plano que intercepte a esfera de raio 13 cm formando uma área de intersecção de 1441 cm².