Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. A medida da altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre triângulos retângulos. O enunciado diz que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. A gente precisa encontrar a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Para isso, vamos lembrar que, em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa pode ser encontrada usando a relação entre as projeções dos catetos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as projeções dos catetos. Vamos chamar a projeção do primeiro cateto de $ p = 6 , cm $ e a do segundo de $ q = 8 , cm $.
Passo 3
A fórmula para encontrar a altura $ h $ relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo é:
Essa fórmula vem do fato de que a altura é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de $ p $ e $ q $ na fórmula:
Passo 5
Calculando a raiz quadrada de 48:
Passo 6
Vamos resolver a segunda parte do exercício. Aqui, a altura relativa à hipotenusa é $ h = 12 , cm $ e uma das projeções dos catetos é $ p = 9 , cm $. Precisamos calcular a medida dos catetos.
Passo 7
Sabemos que a altura $ h $ está relacionada às projeções $ p $ e $ q $ dos catetos pela fórmula:
Como $ h = 12 $ e $ p = 9 $, podemos encontrar $ q $.
Passo 8
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ q $:
Na verdade, é mais simples isolar $ q $ diretamente:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora que temos $ p = 9 , cm $ e $ q = 16 , cm $, podemos encontrar os catetos usando as projeções. Em um triângulo retângulo, os catetos podem ser encontrados pelas seguintes relações:
Passo 10
Calculando os catetos:
Passo 11
Agora, vamos para a terceira parte do exercício. Queremos determinar as medidas das projeções em um triângulo retângulo com hipotenusa $ c = 12 , cm $ e um dos catetos $ a = 4 , cm $.
Passo 12
Primeiro, vamos encontrar o outro cateto usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 13
Agora, vamos encontrar as projeções $ p $ e $ q $ dos catetos sobre a hipotenusa. A projeção de um cateto sobre a hipotenusa é dada por:
Passo 14
Calculando as projeções:
Passo 15
Finalmente, vamos resolver a última parte do exercício. Temos um triângulo retângulo com a altura relativa à hipotenusa $ h = 12 , cm $ e a diferença entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa é $ \Delta p = 7 , cm $. Precisamos encontrar a medida da hipotenusa $ c $.
Passo 16
Sabemos que:
E também que:
Além disso, a hipotenusa é a soma das projeções:
Passo 17
Temos duas equações:
- $ h^2 = p \times q $ $ \Rightarrow 12^2 = p \times q $ $ \Rightarrow 144 = p \times q $
- $ p - q = 7 $
Também sabemos que $ c = p + q $, mas vamos usar as duas primeiras para encontrar $ p $ e $ q $.
Passo 18
Vamos expressar $ p $ em termos de $ q $:
Passo 19
Substituindo na primeira equação:
Passo 20
Resolvendo a equação quadrática:
Como uma projeção não pode ser negativa:
Então:
Passo 21
Agora, a hipotenusa é:
Resposta
A hipotenusa desse triângulo mede $ 25 , cm $.