Em um triângulo retângulo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. A medida da altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm. Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm. A hipotenusa desse triângulo mede:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre triângulos retângulos. O enunciado diz que as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 6 cm e 8 cm. A gente precisa encontrar a altura relativa à hipotenusa desse triângulo. Para isso, vamos lembrar que, em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa pode ser encontrada usando a relação entre as projeções dos catetos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as projeções dos catetos. Vamos chamar a projeção do primeiro cateto de $ p = 6 , cm $ e a do segundo de $ q = 8 , cm $.

Passo 3

A fórmula para encontrar a altura $ h $ relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo é:
h
Essa fórmula vem do fato de que a altura é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de $ p $ e $ q $ na fórmula:
p
q

Passo 5

Calculando a raiz quadrada de 48:
h = raiz48 approx 6,928 , cm

Passo 6

Vamos resolver a segunda parte do exercício. Aqui, a altura relativa à hipotenusa é $ h = 12 , cm $ e uma das projeções dos catetos é $ p = 9 , cm $. Precisamos calcular a medida dos catetos.

Passo 7

Sabemos que a altura $ h $ está relacionada às projeções $ p $ e $ q $ dos catetos pela fórmula:
h
Como $ h = 12 $ e $ p = 9 $, podemos encontrar $ q $.

Passo 8

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ q $:
q
Na verdade, é mais simples isolar $ q $ diretamente:
q = ( hraizp times q )^2
q
Substituindo os valores:
h^2 = p times q
q = h^2p
q = 12^29

Passo 9

Agora que temos $ p = 9 , cm $ e $ q = 16 , cm $, podemos encontrar os catetos usando as projeções. Em um triângulo retângulo, os catetos podem ser encontrados pelas seguintes relações:
p = 9 , cm
q = 16 , cm

Passo 10

Calculando os catetos:
a = raiz9 times 12 = raiz108 approx 10,392 , cm
b = raiz16 times 12 = raiz192 approx 13,856 , cm

Passo 11

Agora, vamos para a terceira parte do exercício. Queremos determinar as medidas das projeções em um triângulo retângulo com hipotenusa $ c = 12 , cm $ e um dos catetos $ a = 4 , cm $.

Passo 12

Primeiro, vamos encontrar o outro cateto usando o Teorema de Pitágoras:
c^2 = a^2 + b^2
12^2 = 4^2 + b^2
144 = 16 + b^2
b^2 = 144 - 16
b^2 = 128
b = raiz128 approx 11,314 , cm

Passo 13

Agora, vamos encontrar as projeções $ p $ e $ q $ dos catetos sobre a hipotenusa. A projeção de um cateto sobre a hipotenusa é dada por:
p
q

Passo 14

Calculando as projeções:
p = 4^212 = 1612 = 43 approx 1,333 , cm
q = (11,314)^212 = 12812 approx 10,666 , cm

Passo 15

Finalmente, vamos resolver a última parte do exercício. Temos um triângulo retângulo com a altura relativa à hipotenusa $ h = 12 , cm $ e a diferença entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa é $ \Delta p = 7 , cm $. Precisamos encontrar a medida da hipotenusa $ c $.

Passo 16

Sabemos que:
h = raizp times q
E também que:
p - q = 7
Além disso, a hipotenusa é a soma das projeções:
c = p + q

Passo 17

Temos duas equações:
  1. $ h^2 = p \times q $ $ \Rightarrow 12^2 = p \times q $ $ \Rightarrow 144 = p \times q $
  2. $ p - q = 7 $
Também sabemos que $ c = p + q $, mas vamos usar as duas primeiras para encontrar $ p $ e $ q $.

Passo 18

Vamos expressar $ p $ em termos de $ q $:
p

Passo 19

Substituindo na primeira equação:
(q + 7) times q = 144
q^2 + 7q - 144 = 0

Passo 20

Resolvendo a equação quadrática:
q = -7 pm raiz7^2 + 4 times 1442
q = -7 pm raiz49 + 5762
q = -7 pm raiz6252
q = -7 pm 252
Como uma projeção não pode ser negativa:
q = -7 + 252 = 182 = 9 , cm
Então:
p = q + 7 = 9 + 7 = 16 , cm

Passo 21

Agora, a hipotenusa é:
c = p + q = 16 + 9 = 25 , cm

Resposta

A hipotenusa desse triângulo mede $ 25 , cm $.

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