Um triatleta se encontra numa praia reta, a
do Bar X, quando vê uma criança cair de um barco no mar a
da praia, na altura deste bar. Se o atleta corre na areia a
e nada a
, determine o caminho que ele deve escolher para chegar mais rápido possível ao resgate da criança e mostre que é o mais rápido. Quanto tempo vai demorar para percorrer este caminho?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triatleta que está a 900 metros da Praia e vê uma criança a 300 metros da praia, no mar, na altura do Bar X. A velocidade dele é de 500 metros por minuto correndo na areia e 400 metros por minuto nadando. Precisamos descobrir qual o caminho que ele deve escolher para chegar mais rápido até a criança e quanto tempo isso vai levar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade, distância e otimização de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor. Imagine uma linha reta representando a praia, com o Bar X em um ponto. O triatleta está a 900 metros do Bar X na praia, e a criança está a 300 metros no mar, perpendicularmente ao Bar X.
Passo 3
Vamos chamar de
a distância que o triatleta corre na areia antes de entrar na água. Então, ele corre
metros a uma velocidade de 500 m/min. Depois disso, ele precisa nadar uma distância que forma um triângulo retângulo, onde os catetos são
metros (quanto falta para chegar ao ponto na praia diretamente em frente à criança) e 300 metros (distância no mar). A distância que ele vai nadar,
, pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo total que o triatleta leva para percorrer esse caminho. O tempo é igual à distância dividida pela velocidade. Assim, o tempo total
é a soma do tempo correndo e do tempo nadando:
Passo 5
Para encontrar o caminho mais rápido, precisamos minimizar o tempo total
em relação a
. Fazemos isso derivando
em relação a
e igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:
Resolvendo essa equação para
, encontramos o valor que minimiza o tempo.
Passo 6
Após resolver a equação acima, encontramos que
é aproximadamente 750 metros. Isso significa que o triatleta deve correr 750 metros na areia e, em seguida, nadar os 150 metros restantes até a criança.
Resposta
O caminho mais rápido é correr 750 metros na areia e depois nadar 150 metros até a criança. O tempo total para percorrer esse caminho é de aproximadamente 1,8 minutos.
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Calcule
e
onde
e