Um triatleta se encontra numa praia reta, a do Bar X, quando vê uma criança cair de um barco no mar a da praia, na altura deste bar. Se o atleta corre na areia a e nada a , determine o caminho que ele deve escolher para chegar mais rápido possível ao resgate da criança e mostre que é o mais rápido. Quanto tempo vai demorar para percorrer este caminho?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triatleta que está a 900 metros da Praia e vê uma criança a 300 metros da praia, no mar, na altura do Bar X. A velocidade dele é de 500 metros por minuto correndo na areia e 400 metros por minuto nadando. Precisamos descobrir qual o caminho que ele deve escolher para chegar mais rápido até a criança e quanto tempo isso vai levar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de velocidade, distância e otimização de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor. Imagine uma linha reta representando a praia, com o Bar X em um ponto. O triatleta está a 900 metros do Bar X na praia, e a criança está a 300 metros no mar, perpendicularmente ao Bar X.

Passo 3

Vamos chamar de a distância que o triatleta corre na areia antes de entrar na água. Então, ele corre metros a uma velocidade de 500 m/min. Depois disso, ele precisa nadar uma distância que forma um triângulo retângulo, onde os catetos são metros (quanto falta para chegar ao ponto na praia diretamente em frente à criança) e 300 metros (distância no mar). A distância que ele vai nadar, , pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo total que o triatleta leva para percorrer esse caminho. O tempo é igual à distância dividida pela velocidade. Assim, o tempo total é a soma do tempo correndo e do tempo nadando:

Passo 5

Para encontrar o caminho mais rápido, precisamos minimizar o tempo total em relação a . Fazemos isso derivando em relação a e igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:
Resolvendo essa equação para , encontramos o valor que minimiza o tempo.

Passo 6

Após resolver a equação acima, encontramos que é aproximadamente 750 metros. Isso significa que o triatleta deve correr 750 metros na areia e, em seguida, nadar os 150 metros restantes até a criança.

Resposta

O caminho mais rápido é correr 750 metros na areia e depois nadar 150 metros até a criança. O tempo total para percorrer esse caminho é de aproximadamente 1,8 minutos.

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