Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar como a curva dessa função se curva para cima ou para baixo e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para entender a inclinação da curva. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos dará informação sobre a concavidade da função:

Passo 4

Para descobrir onde a concavidade muda, precisamos encontrar onde a segunda derivada é igual a zero ou não está definida. Nesse caso, resolvemos:
Esses valores são candidatos a pontos de inflexão.

Passo 5

Vamos agora verificar a concavidade em torno desses pontos. Escolhemos valores testando intervalos definidos por e :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :

Passo 6

Como a concavidade muda em e , esses são pontos de inflexão. Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo os valores de na função original:
  • Para :
Então, o ponto de inflexão é .
  • Para :
Então, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função possui concavidade para cima nos intervalos e , e concavidade para baixo no intervalo . Os pontos de inflexão estão em e .

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