Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso significa que vamos analisar como a curva dessa função se curva para cima ou para baixo e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para entender a inclinação da curva. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos dará informação sobre a concavidade da função:
Passo 4
Para descobrir onde a concavidade muda, precisamos encontrar onde a segunda derivada é igual a zero ou não está definida. Nesse caso, resolvemos:
Esses valores são candidatos a pontos de inflexão.
Passo 5
Vamos agora verificar a concavidade em torno desses pontos. Escolhemos valores testando intervalos definidos por
e
:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Passo 6
Como a concavidade muda em
e
, esses são pontos de inflexão. Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo os valores de
na função original:
- Para
:
Então, o ponto de inflexão é
.
- Para
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
possui concavidade para cima nos intervalos
e
, e concavidade para baixo no intervalo
. Os pontos de inflexão estão em
e
.
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Esboce os gráficos das funções abaixo.
Um triatleta se encontra numa praia reta, a
do Bar X, quando vê uma criança cair de um barco no mar a
da praia, na altura deste bar. Se o atleta corre na areia a
e nada a
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