se anula nos pontos , que são os pontos críticos da função dada, a qual é crescente nos intervalos e decrescente nos intervalos . Os pontos são pontos de mínimo absoluto e de máximo absoluto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a derivada de uma função , que é dada por . A questão discute onde essa derivada se anula, ou seja, onde , que são os pontos críticos da função. Também descreve em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo e classifica certos pontos como mínimos ou máximos absolutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, pontos críticos, e análise de crescimento e decrescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a derivada se anula. Queremos resolver , ou seja:
Dividindo ambos os lados por -5:

Passo 3

Sabemos que o seno é zero em múltiplos de . Então, temos:
Resolvendo para :
Portanto, os pontos críticos são para qualquer inteiro .

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, observamos o sinal da derivada :
  • Quando : → A função está decrescente.
  • Quando : → A função está crescente.

Passo 5

Vamos determinar em quais intervalos é positiva ou negativa. Sabendo que o seno é positivo entre e , e negativo entre e , considerando os múltiplos de :
  • Crescente: Quando , ou seja, . Dividindo por 5:
  • Decrescente: Quando , ou seja, . Dividindo por 5:

Passo 6

Por fim, vamos classificar os pontos críticos:
  • Mínimos Absolutos: Nos pontos onde a função passa de decrescente para crescente. Esses pontos são:
  • Máximos Absolutos: Nos pontos onde a função passa de crescente para decrescente. Esses pontos são:

Resposta

Os pontos críticos da função são para qualquer inteiro . A função está crescente no intervalo e decrescente no intervalo . Os pontos são mínimos absolutos e são máximos absolutos.

Exercícios relacionados

. Para verificar que esse número está efetivamente entre e , basta notar que, como , então
. Verifique que .
Observe que para e . Ponto crítico em , nem de máximo nem de mínimo. A função é sempre crescente. Faça seu gráfico.
O trinômio tem raízes complexas, portanto nunca se anula, sendo sempre negativo. não tem máximo nem mínimo, é sempre decrescente, passando de em , pois