se anula nos pontos
, que são os pontos críticos da função dada, a qual é crescente nos intervalos
e decrescente nos intervalos
. Os pontos
são pontos de mínimo absoluto e
de máximo absoluto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a derivada de uma função
, que é dada por . A questão discute onde essa derivada se anula, ou seja, onde
, que são os pontos críticos da função. Também descreve em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo e classifica certos pontos como mínimos ou máximos absolutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, pontos críticos, e análise de crescimento e decrescimento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a derivada se anula. Queremos resolver
, ou seja:
Dividindo ambos os lados por -5:
Passo 3
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de
. Então, temos:
Resolvendo para
:
Portanto, os pontos críticos são
para qualquer inteiro
.
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, observamos o sinal da derivada
:
- Quando : → A função está decrescente.
- Quando : → A função está crescente.
Passo 5
Vamos determinar em quais intervalos é positiva ou negativa. Sabendo que o seno é positivo entre
e
, e negativo entre
e
, considerando os múltiplos de
:
-
Crescente: Quando , ou seja,
. Dividindo por 5: -
Decrescente: Quando , ou seja,
. Dividindo por 5:
Passo 6
Por fim, vamos classificar os pontos críticos:
-
Mínimos Absolutos: Nos pontos onde a função passa de decrescente para crescente. Esses pontos são:
-
Máximos Absolutos: Nos pontos onde a função passa de crescente para decrescente. Esses pontos são:
Resposta
Os pontos críticos da função são
para qualquer inteiro
. A função
está crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
. Os pontos
são mínimos absolutos e
são máximos absolutos.
Exercícios relacionados
Observe que
para
e
. Ponto crítico em
, nem de máximo nem de mínimo. A função é sempre crescente. Faça seu gráfico.
O trinômio
tem raízes complexas, portanto nunca se anula, sendo sempre negativo.
não tem máximo nem mínimo, é sempre decrescente, passando de
em
, pois