Trio 2 - F 128 - 2s2024
Considere uma barra fixa no espaço onde não há atmosfera ou qualquer campo gravitacional. Um bloco de aresta a e inércia m dirige-se para a barra com velocidade v0 e colide com a barra fixa. A barra possui inércia M,comprimento L e seção de área S onde a gg raizS ou seja, a aresta do bloco é muto maior que a espessura da barra) e a ll L. A superfície inferior do bloco está alinhada com a barra (ver figura), O bloco colide exatamente no centro da barra. Resolva a dinâmica após a colisão. Assuma uma colisão elástica.
Guia:
a) Discuta a hipótese de uma colisão elástica em um experimento real.
b) Discuta as leis de conservação no problema.
c) Equacione o movimento do bloco após a colisão com a barra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de dinâmica envolvendo colisão entre um bloco e uma barra fixa. A gente vai usar conceitos de conservação de energia e momento, já que a colisão é elástica. Precisamos entender as leis da conservação que se aplicam e montar as equações do movimento após a colisão. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar numa colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética total são conservados. Isso significa que, após a colisão, a soma dos momentos e a soma das energias cinéticas dos objetos envolvidos permanecem as mesmas de antes da colisão.

Passo 3

Agora, vamos analisar as leis de conservação no nosso problema. Temos um bloco de massa se movendo com velocidade que colide com uma barra fixa de massa . Como a colisão é elástica e não há forças externas influenciando (como gravidade ou atrito), podemos aplicar a conservação do momento e da energia cinética.

Passo 4

Vamos escrever a equação da conservação do momento. Antes da colisão, apenas o bloco está se movendo, então o momento inicial é m v0 = m v1 + M V . Após a colisão, vamos supor que o bloco tem velocidade e a barra ganha uma velocidade . A conservação do momento fica:

Passo 5

Agora, a conservação da energia cinética. A energia cinética inicial é 12 m v0^2 = 12 m v1^2 + 12 M V^2 . Após a colisão, a energia cinética total é . Assim, temos:

Passo 6

Temos duas equações e duas incógnitas ( m v0 = m v1 + M V Rightarrow v1 = v0 - Mm V e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar as velocidades após a colisão. Primeiro, da conservação do momento:

Passo 7

Substituindo 12 m v0^2 = 12 m (v0 - Mm V)^2 + 12 M V^2 na equação da energia cinética:
m v0^2 = m (v0^2 - 2 v0 Mm V + (Mm)^2 V^2 ) + M V^2
Simplificando:

Passo 8

Distribuindo o m v0^2 = m v0^2 - 2 M v0 V + M^2m V^2 + M V^2 :
0 = -2 M v0 V + (M^2m + M) V^2
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 9

Fatorando V ( -2 M v0 + (M^2m + M) V ) = 0 :
-2 M v0 + (M^2m + M) V = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis: (sem movimento da barra) ou

Passo 10

Resolvendo para (M^2m + M) V = 2 M v0 :
V = 2 M v0M ( Mm + 1 ) = 2 v0Mm + 1
V = 2 m v0M + m
Simplificando:

Passo 11

Agora que temos v1 = v0 - Mm V = v0 - Mm cdot 2 m v0M + m = v0 - 2 M v0M + m , podemos achar v1 = v0 (1 - 2 MM + m) = v0 ( M + m - 2 MM + m ) = v0 ( m - MM + m ) usando a relação do Passo 6:

Resposta

Após a colisão, a velocidade do bloco é e a velocidade da barra é .

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