Uma onda em uma corda é descrita por uma função de onda
(a) Mostre que uma partícula na corda em
executa um movimento harmônico simples. (b) Determine a frequência da oscilação deste ponto particular.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma onda numa corda, descrita pela função $ y = 0,100,m \cdot \sin(0,50x - 20t) $. A questão tem duas partes:
(a) Mostrar que uma partícula na corda em $ x = 2,00,m $ faz um movimento harmônico simples.
(b) Descobrir qual é a frequência dessa oscilação nesse ponto.
(a) Mostrar que uma partícula na corda em $ x = 2,00,m $ faz um movimento harmônico simples.
(b) Descobrir qual é a frequência dessa oscilação nesse ponto.
Vamos precisar entender o que é movimento harmônico simples (MHS) e como a frequência está relacionada à função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos mostrar que a partícula em $ x = 2,00,m $ faz um MHS. Para isso, vamos substituir $ x $ por 2,00 m na função da onda.
Nossa função original é:
Substituindo $ x = 2,00,m $:
Isso simplifica para:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, observe que a função $ y(t) $ é uma função do tempo $ t $ e tem a forma de uma função seno com relação ao tempo. A equação geral de um movimento harmônico simples é:
onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Nossa expressão $ y(t) = 0,100,m \cdot \sin(1,00 - 20t) $ está nessa forma, onde:
- A amplitude $ A = 0,100,m $,
- A frequência angular $ \omega = 20,rad/s $,
- A fase inicial $ \phi = 1,00,rad $.
Isso confirma que a partícula em $ x = 2,00,m $ realiza um movimento harmônico simples porque sua posição em função do tempo segue a forma típica do MHS.
Passo 4
Agora vamos para a parte (b), que pede para determinar a frequência da oscilação nesse ponto. Já identificamos que a frequência angular $ \omega = 20,rad/s $.
A relação entre a frequência angular $ \omega $ e a frequência $ f $ é dada por:
Queremos encontrar $ f $, então rearranjamos a fórmula:
Substituindo $ \omega = 20,rad/s $:
Então, a frequência da oscilação desse ponto é aproximadamente 3,18 Hz.
Resposta
(a) A partícula em $ x = 2,00,m $ realiza um movimento harmônico simples.
(b) A frequência da oscilação nesse ponto é aproximadamente $ 3,18,Hz $.
(b) A frequência da oscilação nesse ponto é aproximadamente $ 3,18,Hz $.