Um tubo aberto de órgão tem uma freqüência fundamental de
. O primeiro sobretom
de um tubo de órgão fechado tem a mesma freqüência do segundo harmônico do tubo aberto. Qual o comprimento de cada tubo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois tubos de órgão: um aberto e outro fechado. A frequência fundamental do tubo aberto é de 291 Hz. Além disso, o primeiro sobretom do tubo fechado (que na verdade corresponde ao terceiro harmônico, já que tubos fechados só têm harmônicos ímpares) tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo aberto. Nosso objetivo aqui é encontrar o comprimento de cada um desses tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as frequências nos tubos abertos e fechados.
Para um tubo aberto, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Ou seja, os harmônicos são
, onde
.
Já para um tubo fechado, somente os harmônicos ímpares aparecem. A frequência dos harmônicos é dada por
, mas apenas para
.
Passo 3
Vamos identificar o que cada termo da questão significa:
- Tubo aberto: frequência fundamental
. - Primeiro sobretom do tubo fechado: como é o primeiro sobretom, e em tubos fechados os harmônicos são ímpares, isso corresponde ao terceiro harmônico, então
. - Segundo harmônico do tubo aberto:
.
A questão diz que
.
Passo 4
Vamos expressar isso matematicamente:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a frequência com o comprimento do tubo. A fórmula geral para a frequência fundamental em um tubo aberto é:
E para um tubo fechado:
Onde:
-
é a velocidade do som (aproximadamente no ar). -
é o comprimento do tubo.
Passo 6
Vamos resolver para
e
.
Primeiro, para o tubo aberto:
Agora, para o tubo fechado:
Resposta
O comprimento do tubo aberto é aproximadamente
e o comprimento do tubo fechado é aproximadamente
.