Um tubo aberto de órgão tem uma freqüência fundamental de 291 Hz. O primeiro sobretom (n=3) de um tubo de órgão fechado tem a mesma freqüência do segundo harmônico do tubo aberto. Qual o comprimento de cada tubo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois tubos de órgão: um aberto e outro fechado. A frequência fundamental do tubo aberto é de 291 Hz. Além disso, o primeiro sobretom do tubo fechado (que na verdade corresponde ao terceiro harmônico, já que tubos fechados só têm harmônicos ímpares) tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo aberto. Nosso objetivo aqui é encontrar o comprimento de cada um desses tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as frequências nos tubos abertos e fechados.
Para um tubo aberto, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Ou seja, os harmônicos são , onde .
Já para um tubo fechado, somente os harmônicos ímpares aparecem. A frequência dos harmônicos é dada por , mas apenas para .

Passo 3

Vamos identificar o que cada termo da questão significa:
  • Tubo aberto: frequência fundamental .
  • Primeiro sobretom do tubo fechado: como é o primeiro sobretom, e em tubos fechados os harmônicos são ímpares, isso corresponde ao terceiro harmônico, então .
  • Segundo harmônico do tubo aberto: .
A questão diz que .

Passo 4

Vamos expressar isso matematicamente:
3 times f1,fechado = 2 times f1,aberto
Sabemos que 3 times f1,fechado = 2 times 291 , então:
3 times f1,fechado = 582
f1,fechado = 5823 = 194 , Hz

Passo 5

Agora, vamos relacionar a frequência com o comprimento do tubo. A fórmula geral para a frequência fundamental em um tubo aberto é:
f1,aberto = v2Laberto
E para um tubo fechado:
f1,fechado = v4Lfechado
Onde:
  • é a velocidade do som (aproximadamente no ar).
  • é o comprimento do tubo.

Passo 6

Vamos resolver para f1,aberto = v2Laberto e 291 = 3432Laberto .
Primeiro, para o tubo aberto:
2Laberto = 343291
Laberto = 3432 times 291
Laberto approx 343582
Laberto approx 0,589 , m
f1,fechado = v4Lfechado
194 = 3434Lfechado
Agora, para o tubo fechado:
4Lfechado = 343194
Lfechado = 3434 times 194
Lfechado approx 343776
Lfechado approx 0,442 , m

Resposta

O comprimento do tubo aberto é aproximadamente e o comprimento do tubo fechado é aproximadamente .

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