Um fluxo de água escoa a
em um cano horizontal sob uma pressão de 200kPa. Em um certo ponto, o cano estreita-se para a metade do diâmetro inicial. (a) Qual será a velocidade do fluxo de água na parte estreita? (b) Qual será a pressão do fluído na parte estreita? (considere a densidade da água como
).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos um fluxo de água que está se movendo a 3 m/s em um cano horizontal com uma pressão de 200 kPa. Em um ponto, o cano fica mais estreito, com metade do diâmetro inicial. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Qual a nova velocidade da água nessa parte estreita?
b) Qual a nova pressão da água nessa parte estreita?
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Ela nos diz que, para um fluido incompressível (como a água), o produto da área da seção transversal do cano pela velocidade do fluxo é constante. Basicamente, se o cano fica mais estreito, a água precisa ir mais rápido para manter o mesmo fluxo.
A equação da continuidade é:
onde:
-
é a área da seção transversal -
é a velocidade do fluxo - Os subscritos 1 e 2 referem-se às duas partes do cano (antes e depois de estreitar)
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar a nova velocidade
na parte estreita.
Sabemos que o diâmetro na parte estreita é metade do diâmetro inicial. Como a área de um círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro, a nova área
será:
Usando a equação da continuidade:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a nova pressão
na parte estreita.
Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluxo constante. Como o cano é horizontal, a altura não muda, então podemos simplificar a equação.
A equação de Bernoulli fica:
Onde:
-
é a pressão -
é a densidade da água -
é a velocidade do fluxo
Queremos descobrir
, então vamos rearranjar a equação:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Então:
Convertendo para kPa:
Resposta
a) A velocidade do fluxo de água na parte estreita é de 12 m/s.
b) A pressão do fluido na parte estreita é de aproximadamente 132,6 kPa.