Um fluxo de água escoa a 3 m / s em um cano horizontal sob uma pressão de 200kPa. Em um certo ponto, o cano estreita-se para a metade do diâmetro inicial. (a) Qual será a velocidade do fluxo de água na parte estreita? (b) Qual será a pressão do fluído na parte estreita? (considere a densidade da água como 998 kg / m^3 ).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos um fluxo de água que está se movendo a 3 m/s em um cano horizontal com uma pressão de 200 kPa. Em um ponto, o cano fica mais estreito, com metade do diâmetro inicial. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) Qual a nova velocidade da água nessa parte estreita?
b) Qual a nova pressão da água nessa parte estreita?
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais da física dos fluidos: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da continuidade. Ela nos diz que, para um fluido incompressível (como a água), o produto da área da seção transversal do cano pela velocidade do fluxo é constante. Basicamente, se o cano fica mais estreito, a água precisa ir mais rápido para manter o mesmo fluxo.
A equação da continuidade é:
A1 times v1 = A2 times v2
onde:
  • é a área da seção transversal
  • é a velocidade do fluxo
  • Os subscritos 1 e 2 referem-se às duas partes do cano (antes e depois de estreitar)

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar a nova velocidade A2 = 14 A1 na parte estreita.
Sabemos que o diâmetro na parte estreita é metade do diâmetro inicial. Como a área de um círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro, a nova área A1 times v1 = 14 A1 times v2 será:
v1 = 14 v2
Usando a equação da continuidade:
v2 = 4 times v1 = 4 times 3, m/s = 12, m/s
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a nova pressão P1 + 12 rho v1^2 = P2 + 12 rho v2^2 na parte estreita.
Para isso, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes de um fluxo constante. Como o cano é horizontal, a altura não muda, então podemos simplificar a equação.
A equação de Bernoulli fica:
P2 = P1 + 12 rho v1^2 - 12 rho v2^2
Onde:
  • é a pressão
  • é a densidade da água
  • é a velocidade do fluxo
Queremos descobrir , então vamos rearranjar a equação:

Passo 5

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
P1 = 200, kPa = 200,000, Pa
rho = 998, kg/m^3
v1 = 3, m/s
v2 = 12, m/s
Substituindo:
P2 = 200,000, Pa + 12 times 998, kg/m^3 times (3, m/s)^2 - 12 times 998, kg/m^3 times (12, m/s)^2
Calculando cada termo:
12 times 998 times 9 = 4491, Pa
12 times 998 times 144 = 71,856, Pa
Então:
P2 = 200,000 + 4,491 - 71,856 = 132,635, Pa
Convertendo para kPa:
P2 = 132,635, Pa div 1000 = 132,635, kPa

Resposta

a) A velocidade do fluxo de água na parte estreita é de 12 m/s.
b) A pressão do fluido na parte estreita é de aproximadamente 132,6 kPa.

Exercícios relacionados