Um tubo de Cloreto de Polivinila (PVC) é fabricado com um diâmetro médio de 1,01 polegada e um desvio-padrão de 0,003 polegada. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 9 seções do tubo ter um diâmetro médio amostral maior que 1,009 polegada e menor que 1,012 polegada e assinale a alternativa com o resultado CORRETO:
a.15%.
b.76,48%.
c.99,1%.
d.81,86%.
e.1%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tubo de PVC com diâmetro médio de 1,01 polegada e um desvio-padrão de 0,003 polegada. Queremos descobrir a probabilidade de, pegando uma amostra de 9 tubos, a média dos diâmetros ficar entre 1,009 e 1,012 polegada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição amostral da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando pegamos uma amostra, a média dessa amostra também tem uma distribuição. Essa distribuição da média amostral segue uma distribuição normal se a amostra for suficientemente grande ou se a população original for normal, o que é o caso aqui.
A fórmula para o desvio-padrão da média amostral ( sigmabarx) é:
sigmabarx = sigmaraizn
Onde:
  • sigma = 0,003 polegada (desvio-padrão da população)
  • n = 9 (tamanho da amostra)
Então,
sigmabarx = 0,003raiz9 = 0,0033 = 0,001 po<=gada

Passo 3

Agora, queremos achar a probabilidade de que a média da amostra ( barx) esteja entre 1,009 e 1,012 polegada. Para isso, transformamos esses valores em z-scores usando a fórmula:
z = barx - musigmabarx
Onde:
  • mu = 1,01 polegada (média da população)
Calculando para 1,009 polegada:
z1 = 1,009 - 1,010,001 = -0,0010,001 = -1
E para 1,012 polegada:
z2 = 1,012 - 1,010,001 = 0,0020,001 = 2

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
  • Para z = -1: a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,1587.
  • Para z = 2: a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9772.
A probabilidade de $ \bar{x} $ estar entre 1,009 e 1,012 polegada é a diferença dessas probabilidades:
barx

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente 81,86%, ou seja, a alternativa d. 81,86% está correta.

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