Um tubo oco possui um disco DD fixado a uma de suas extremidades. Quando o ar com massa específica é soprado através do tubo, o disco atrai o cartão CC. Seja A a área do cartão e a velocidade média do ar entre o cartão e o disco. Determine a força resultante direcionada para cima que atua em CC. Despreze o peso do cartão e admita que « , onde é a velocidade do do ar no interior do tubo. (Nota: para isso a distância entre o disco e o cartão tem de ser muito pequena.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tubo oco com um disco fixado em uma das extremidades. Quando sopramos ar pelo tubo, o disco puxa um cartão ligado a ele. A gente precisa calcular a força para cima que atua nesse cartão. Vamos usar conhecimentos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e conservação de massa. Para isso, vamos precisar das variáveis: massa específica do ar ( ), área do cartão ( ), velocidade média do ar entre o cartão e o disco ( ), e a velocidade do ar no interior do tubo ( ), que é muito menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o ar é soprado pelo tubo, ele se move rápido entre o disco e o cartão. Como , a velocidade do ar na saída do tubo é praticamente zero comparada com a velocidade entre o disco e o cartão.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de continuidade, que diz que a massa de fluido que entra em um ponto deve ser igual à que sai. A equação é:
Como , a área deve ser maior que para manter a igualdade. Mas como não temos , vamos focar na força resultante.

Passo 4

Agora, aplicamos a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em movimento. Neste caso, como a altura não muda, podemos simplificar:
A pressão na entrada do tubo ( ) mais a energia cinética do ar lá é igual à pressão no cartão ( ) mais a energia cinética do ar entre o cartão e o disco.

Passo 5

Como , a energia cinética na entrada é muito pequena e podemos desprezar:
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão ( ):

Passo 6

A força resultante ( ) que atua no cartão é devido a essa diferença de pressão agindo sobre a área do cartão:

Resposta

A força resultante dirigida para cima que atua no cartão é:

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