Um tubo oco possui um disco DD fixado a uma de suas extremidades. Quando o ar com massa específica rho é soprado através do tubo, o disco atrai o cartão CC. Seja A a área do cartão e v a velocidade média do ar entre o cartão e o disco. Determine a força resultante direcionada para cima que atua em CC. Despreze o peso do cartão e admita que v0 « v, onde v0 é a velocidade do do ar no interior do tubo. (Nota: para isso a distância entre o disco e o cartão tem de ser muito pequena.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tubo oco com um disco fixado em uma das extremidades. Quando sopramos ar pelo tubo, o disco puxa um cartão ligado a ele. A gente precisa calcular a força para cima que atua nesse cartão. Vamos usar conhecimentos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Bernoulli e conservação de massa. Para isso, vamos precisar das variáveis: massa específica do ar ( rho), área do cartão ( A), velocidade média do ar entre o cartão e o disco ( v), e a velocidade do ar no interior do tubo ( v0), que é muito menor que v.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o ar é soprado pelo tubo, ele se move rápido entre o disco e o cartão. Como v gg v0, a velocidade do ar na saída do tubo é praticamente zero comparada com a velocidade entre o disco e o cartão.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de continuidade, que diz que a massa de fluido que entra em um ponto deve ser igual à que sai. A equação é:
A0 v0 = A v
Como v0 ll v, a área A0 deve ser maior que A para manter a igualdade. Mas como não temos A0, vamos focar na força resultante.

Passo 4

Agora, aplicamos a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em movimento. Neste caso, como a altura não muda, podemos simplificar:
P + 12 rho v^2 = constante
A pressão na entrada do tubo ( P0) mais a energia cinética do ar lá é igual à pressão no cartão ( P) mais a energia cinética do ar entre o cartão e o disco.

Passo 5

Como v0 ll v, a energia cinética na entrada é muito pequena e podemos desprezar:
P0 approx P + 12 rho v^2
Rearranjando para encontrar a diferença de pressão ( De):
De

Passo 6

A força resultante ( F) que atua no cartão é devido a essa diferença de pressão agindo sobre a área do cartão:
F = De

Resposta

A força resultante dirigida para cima que atua no cartão é:
F = 12 rho v^2 A

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