Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar (a) fosse constante; e (b) diminuísse linearmente até zero em função da altitude? Admita que a massa específica do nível do mar seja de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a altura da atmosfera de duas maneiras diferentes. Primeiro, assumindo que a densidade do ar ( ) é constante. Segundo, supondo que a densidade diminui linearmente até chegar a zero conforme aumentamos a altitude. Para resolver isso, vamos usar a ideia da pressão atmosférica e como ela se relaciona com a densidade e a gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da pressão em um gás estático, que é dada por:
Aqui, é a pressão, é a altitude, é a densidade do ar, e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Parte (a): Densidade constante

Se a densidade for constante, podemos integrar a equação da pressão:
No nível do mar ( ), a pressão é conhecida. Para a atmosfera terminar, a pressão deve chegar a zero:
Mas como a questão não nos dá , vamos considerar que a pressão diminui até zero onde a densidade também efetivamente não sustenta mais a atmosfera. Portanto, quando é constante, a altura teoricamente seria infinita, pois a densidade não muda para reduzir a pressão.

Passo 4

Parte (b): Densidade diminui linearmente até zero

Agora, suponha que a densidade diminua linearmente com a altitude até chegar a zero em uma certa altura . Podemos expressar a densidade como:
Substituindo na equação da pressão:
Integrando de a :
Aplicando que e , resolvemos para e encontramos:
Igualando , da:
Se utilizarmos a pressão padrão ao nível do mar , substituindo e :

Resposta

(a) A altura da atmosfera seria infinita.
(b) A altura da atmosfera seria aproximadamente .

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