Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar (a) fosse constante; e (b) diminuísse linearmente até zero em função da altitude? Admita que a massa específica do nível do mar seja de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a altura da atmosfera de duas maneiras diferentes. Primeiro, assumindo que a densidade do ar (
) é constante. Segundo, supondo que a densidade diminui linearmente até chegar a zero conforme aumentamos a altitude. Para resolver isso, vamos usar a ideia da pressão atmosférica e como ela se relaciona com a densidade e a gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da pressão em um gás estático, que é dada por:
Aqui,
é a pressão,
é a altitude,
é a densidade do ar, e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 3
Parte (a): Densidade constante
Se a densidade
for constante, podemos integrar a equação da pressão:
No nível do mar (
), a pressão
é conhecida. Para a atmosfera terminar, a pressão deve chegar a zero:
Mas como a questão não nos dá
, vamos considerar que a pressão diminui até zero onde a densidade também efetivamente não sustenta mais a atmosfera. Portanto, quando
é constante, a altura teoricamente seria infinita, pois a densidade não muda para reduzir a pressão.
Passo 4
Parte (b): Densidade diminui linearmente até zero
Agora, suponha que a densidade diminua linearmente com a altitude até chegar a zero em uma certa altura
. Podemos expressar a densidade como:
Substituindo na equação da pressão:
Integrando de
a
:
Aplicando que
e
, resolvemos para
e encontramos:
Igualando
, da:
Se utilizarmos a pressão padrão ao nível do mar
, substituindo
e
:
Resposta
(a) A altura da atmosfera seria infinita.
(b) A altura da atmosfera seria aproximadamente .
(b) A altura da atmosfera seria aproximadamente
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por:
onde
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«
, onde
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