Um tubo poroso de
de comprimento é intercalado entre dois tubos não porosos, formando um chafariz. Os tubos possuem diâmetro interno e externo, iguais a
e
, respectivamente. A água entra no sistema com velocidade média de
. Parte dessa água atravessa a parede do tubo poroso formando um perfil de velocidade simétrico dado por,
, sendo L o comprimento do tubo poroso, em m . Determine a vazão mássica da água imediatamente após o tubo poroso. Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo fluxo de água em tubos porosos e não porosos. Precisamos calcular a vazão mássica da água logo após o tubo poroso. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como vazão volumétrica e vazão mássica. Vamos precisar conhecer a densidade da água, as velocidades envolvidas e as áreas dos tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão volumétrica inicial da água que entra no sistema. A vazão volumétrica (
) é dada pela área da seção transversal do tubo não poroso multiplicada pela velocidade da água.
A área (
) de um círculo é
, onde
é o diâmetro.
Então, para o tubo não poroso:
Agora, a vazão volumétrica inicial:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a vazão volumétrica que está passando pela parede do tubo poroso. Para isso, usamos o perfil de velocidade radial dado por:
A vazão volumétrica diferencial passando pela parede em uma pequena diferença de comprimento
é:
Onde
é a área da parede por unidade de comprimento. Como temos diâmetros interno e externo, a área da parede por unidade de comprimento é:
Passo 4
Para encontrar a vazão volumétrica total que passa pela parede do tubo poroso ao longo de todo o comprimento
, integramos
de
a
:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Avaliando de 0 a 1,4:
Agora, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, calculamos a vazão volumétrica final após a água passar pelo tubo poroso:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a vazão mássica (
), multiplicamos a vazão volumétrica pela densidade da água:
Resposta
A vazão mássica da água imediatamente após o tubo poroso é de aproximadamente
.