Um tubo poroso de 1,4 m de comprimento é intercalado entre dois tubos não porosos, formando um chafariz. Os tubos possuem diâmetro interno e externo, iguais a 0,055 m e 0,061 m, respectivamente. A água entra no sistema com velocidade média de 2,5 m / s. Parte dessa água atravessa a parede do tubo poroso formando um perfil de velocidade simétrico dado por, vr=0,01[1-(xL)^2] m / s, sendo L o comprimento do tubo poroso, em m . Determine a vazão mássica da água imediatamente após o tubo poroso. Dados: rhoH 2 O=988 kg / m^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo fluxo de água em tubos porosos e não porosos. Precisamos calcular a vazão mássica da água logo após o tubo poroso. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como vazão volumétrica e vazão mássica. Vamos precisar conhecer a densidade da água, as velocidades envolvidas e as áreas dos tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão volumétrica inicial da água que entra no sistema. A vazão volumétrica ( Qin) é dada pela área da seção transversal do tubo não poroso multiplicada pela velocidade da água.
A área ( A) de um círculo é A = pi (d2)^2, onde d é o diâmetro.
Então, para o tubo não poroso:
Anão poroso = pi (0,055, m2)^2 ã
Anão poroso = pi (0,0275, m)^2 ã
Anão poroso approx 0,00237, m^2 ã
Agora, a vazão volumétrica inicial:
Qin = Anão poroso times vin ã
Qin = 0,00237, m^2 times 2,5, m/s
Qin approx 0,00593, m^3/s

Passo 3

Agora, precisamos calcular a vazão volumétrica que está passando pela parede do tubo poroso. Para isso, usamos o perfil de velocidade radial dado por:
vr(x) = 0,01 [1 - (xL)^2], m/s
A vazão volumétrica diferencial passando pela parede em uma pequena diferença de comprimento dx é:
dQ = vr(x) times Aparede times dx
Onde Aparede é a área da parede por unidade de comprimento. Como temos diâmetros interno e externo, a área da parede por unidade de comprimento é:
Aparede = pi (dexterno2)^2 - pi (dinterno2)^2
Aparede = pi [(0,0612)^2 - (0,0552)^2]
Aparede = pi [0,00093025 - 0,00075625]
Aparede approx 0,000174, m^2

Passo 4

Para encontrar a vazão volumétrica total que passa pela parede do tubo poroso ao longo de todo o comprimento L = 1,4, m, integramos dQ de x = 0 a x = L:
Qparede = integral0^L vr(x) times Aparede , dx
Qparede = 0,000174, m^2 times integral0^1,4 0,01 [1 - (x1,4)^2] dx
Qparede = 0,000174 times 0,01 times integral0^1,4 [1 - (x1,4)^2] dx

Passo 5

Resolvendo a integral:
integral [1 - (x1,4)^2] dx = x - x^33 times (1,4)^2
Avaliando de 0 a 1,4:
[1,4 - (1,4)^33 times (1,4)^2] - [0 - 0]
= 1,4 - 1,43
= 1,4 - 0,4667
approx 0,9333, m
Agora, substituindo de volta:
Qparede = 0,000174 times 0,01 times 0,9333
Qparede approx 0,000001625, m^3/s

Passo 6

Agora, calculamos a vazão volumétrica final após a água passar pelo tubo poroso:
Qfinal = Qin - Qparede
Qfinal = 0,00593, m^3/s - 0,000001625, m^3/s
Qfinal approx 0,005928, m^3/s

Passo 7

Finalmente, para encontrar a vazão mássica ( dotm), multiplicamos a vazão volumétrica pela densidade da água:
dotm = rho times Qfinal
dotm = 988, kg/m^3 times 0,005928, m^3/s
dotm approx 5,85, kg/s

Resposta

A vazão mássica da água imediatamente após o tubo poroso é de aproximadamente 5,85, kg/s.

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