Os tubos são feitos de aço comercial, e os diâmetros dos dois tubos são 4 e 8 cm . A água deve ser bombeada por uma combinação de motor-bomba com eficiência de 70% que consome 8 kW de energia elétrica durante a operação. Despreze as perdas localizadas e Determine a vazão total entre os reservatórios e a vazão através de cada um dos tubos paralelos.
Equação da Energia
(pArho g+alphaA barVA^22 g+zA)+HM=(pBrho g+alphaB barVB^22 g+zB)+HpA B

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos dois tubos de aço com diâmetros diferentes, 4 cm e 8 cm. A gente precisa bombear água usando um motor-bomba que é 70% eficiente e consome 8 kW de energia elétrica. Nosso objetivo é descobrir qual é a vazão total entre os reservatórios e também a vazão em cada um dos tubos que estão em paralelo. Para resolver isso, vamos usar a Equação da Energia nos fluidos e alguns conceitos básicos de física dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a eficiência do motor-bomba. A eficiência ( eta = Energia útilEnergia consumida ) nos diz o quanto da energia consumida é realmente usada para bombear a água. A fórmula para a eficiência é:
Pútil = eta times Pconsumida = 0,7 times 8, kW = 5,6, kW ú
Sabemos que a eficiência é 70%, ou seja, , e a energia consumida é 8 kW. Vamos calcular a energia útil ( ú):
ú

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a potência útil está relacionada à vazão ( Pútil = rho times g times Q times H ) e à altura manométrica total ( Q = Pútilrho times g times H ) pela fórmula:
ú
Onde:
  • é a densidade da água ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a vazão total
  • é a altura manométrica total
Vamos isolar a vazão total :
ú

Passo 4

Para encontrar a altura manométrica total (pArho g+alphaA barVA^22 g+zA)+HM=(pBrho g+alphaB barVB^22 g+zB)+HpA B , vamos usar a Equação da Energia fornecida:
HM = HpA B
Assumindo que os reservatórios estão ao mesmo nível ( ) e que não há diferenças de pressão ( ), além de desconsiderar as perdas localizadas, a equação simplifica para:
Ou seja, a altura manométrica total fornecida pela bomba é igual à altura necessária para mover a água dos reservatórios através dos tubos.

Passo 5

Sabemos que os tubos estão em paralelo, então a vazão total Q = Q1 + Q2 é a soma das vazões nos tubos individuais H = H1 = H2 e :
Além disso, como os tubos estão em paralelo, a altura manométrica é a mesma para ambos:
A resistência hidráulica em cada tubo depende do diâmetro e do comprimento, mas como o comprimento não foi fornecido, vamos assumir que os tubos têm o mesmo comprimento e, portanto, a vazão será inversamente proporcional às áreas dos tubos.

Passo 6

Vamos calcular as áreas dos tubos para determinar a distribuição da vazão. A área de um tubo é dada por:
A = pi d^24
Para o tubo de 4 cm ( A1 = pi (0,04)^24 = 0,001256, m^2 ):
A2 = pi (0,08)^24 = 0,005026, m^2
Para o tubo de 8 cm ( Q1Q2 = A1A2 = 0,0012560,005026 approx 0,25 ):
A proporção das áreas será inversamente proporcional às resistências, então a vazão se distribuirá de forma que:
Ou seja, .

Passo 7

Sabemos que Q = 0,25, Q2 + Q2 = 1,25, Q2 e Q2 = Q1,25 = 0,8, Q . Substituindo:
Q1 = 0,25, Q2 = 0,25 times 0,8, Q = 0,2, Q
Então,
E,

Passo 8

Agora, voltando à fórmula da vazão total:
Q = Pútilrho times g times H ú
Precisamos encontrar H = Pútilrho times g times Q . No entanto, sem mais informações sobre a diferença de altura ou outras perdas, assumiremos que toda a energia é usada para movimentar a água horizontalmente, ou seja, é determinado pela vazão e eficiência.
Vamos reorganizar a equação para resolver :
ú
Mas como temos duas incógnitas ( e ), precisamos de mais informações para resolver completamente. Dado que a questão pede apenas a vazão total e as vazões individuais, vamos assumir que é conhecido ou que precisamos expressar as vazões em termos de .

Passo 9

Assumindo que Q = 5,6 times 10^31000 times 9,81 times H = 5,6 times 10^39,81 times 10^3 times H approx 0,571, m^3/sH é uma constante fornecida ou podemos expressar as vazões em função de Q2 = 0,8, Q approx 0,457, m^3/sH , a relação entre as vazões já está estabelecida:
Q1 = 0,2, Q approx 0,114, m^3/sH
Portanto,

Resposta

A vazão total entre os reservatórios é aproximadamente . A vazão através do tubo de 4 cm é cerca de e através do tubo de 8 cm é aproximadamente , onde é a altura manométrica total utilizada no bombeamento.

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