Os tubos são feitos de aço comercial, e os diâmetros dos dois tubos são 4 e 8 cm . A água deve ser bombeada por uma combinação de motor-bomba com eficiência de 70% que consome 8 kW de energia elétrica durante a operação. Despreze as perdas localizadas e Determine a vazão total entre os reservatórios e a vazão através de cada um dos tubos paralelos.
Equação da Energia
Equação da Energia
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos dois tubos de aço com diâmetros diferentes, 4 cm e 8 cm. A gente precisa bombear água usando um motor-bomba que é 70% eficiente e consome 8 kW de energia elétrica. Nosso objetivo é descobrir qual é a vazão total entre os reservatórios e também a vazão em cada um dos tubos que estão em paralelo. Para resolver isso, vamos usar a Equação da Energia nos fluidos e alguns conceitos básicos de física dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a eficiência do motor-bomba. A eficiência (
) nos diz o quanto da energia consumida é realmente usada para bombear a água. A fórmula para a eficiência é:
Sabemos que a eficiência é 70%, ou seja,
, e a energia consumida é 8 kW. Vamos calcular a energia útil (
):
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a potência útil está relacionada à vazão (
) e à altura manométrica total (
) pela fórmula:
Onde:
-
é a densidade da água ( ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a vazão total -
é a altura manométrica total
Vamos isolar a vazão total
:
Passo 4
Para encontrar a altura manométrica total
, vamos usar a Equação da Energia fornecida:
Assumindo que os reservatórios estão ao mesmo nível (
) e que não há diferenças de pressão (
), além de desconsiderar as perdas localizadas, a equação simplifica para:
Ou seja, a altura manométrica total fornecida pela bomba é igual à altura necessária para mover a água dos reservatórios através dos tubos.
Passo 5
Sabemos que os tubos estão em paralelo, então a vazão total
é a soma das vazões nos tubos individuais
e
:
Além disso, como os tubos estão em paralelo, a altura manométrica
é a mesma para ambos:
A resistência hidráulica em cada tubo depende do diâmetro e do comprimento, mas como o comprimento não foi fornecido, vamos assumir que os tubos têm o mesmo comprimento e, portanto, a vazão será inversamente proporcional às áreas dos tubos.
Passo 6
Vamos calcular as áreas dos tubos para determinar a distribuição da vazão. A área de um tubo é dada por:
Para o tubo de 4 cm (
):
Para o tubo de 8 cm (
):
A proporção das áreas será inversamente proporcional às resistências, então a vazão se distribuirá de forma que:
Ou seja,
.
Passo 7
Sabemos que
e
. Substituindo:
Então,
E,
Passo 8
Agora, voltando à fórmula da vazão total:
Precisamos encontrar
. No entanto, sem mais informações sobre a diferença de altura ou outras perdas, assumiremos que toda a energia é usada para movimentar a água horizontalmente, ou seja,
é determinado pela vazão e eficiência.
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Mas como temos duas incógnitas (
e
), precisamos de mais informações para resolver completamente. Dado que a questão pede apenas a vazão total e as vazões individuais, vamos assumir que
é conhecido ou que precisamos expressar as vazões em termos de
.
Passo 9
Assumindo que
é uma constante fornecida ou podemos expressar as vazões em função de
, a relação entre as vazões já está estabelecida:
Portanto,
Resposta
A vazão total entre os reservatórios é aproximadamente
. A vazão através do tubo de 4 cm é cerca de
e através do tubo de 8 cm é aproximadamente
, onde
é a altura manométrica total utilizada no bombeamento.