Uma tubulação
de 50 cm de diâmetro e
de extensão é usada para transportar água a aproximadamente
. Qual será a vazão máxima se for permitida uma perda de carga de 15 m na tubulação? Desprezar as perdas de carga localizadas. (2,0 pontos)
material
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação que transporta água e precisa descobrir qual é a vazão máxima permitida, considerando uma perda de carga específica. Vamos focar em hidráulica de fluidos e usar algumas fórmulas básicas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Rugosidade da tubulação: $ e = 0,125 , mm = 0,000125 , m $
- Diâmetro da tubulação: $ D = 50 , cm = 0,5 , m $
- Comprimento da tubulação: $ L = 3,0 , km = 3000 , m $
- Viscosidade cinemática da água: $ v = 1,0 \times 10^{-6} , m^2/s $
- Perda de carga permitida: $ h_f = 15 , m $
- Aceleração da gravidade: $ g = 9,81 , m/s^2 $
Passo 3
Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga:
Onde:
- $ h_f $ é a perda de carga
- $ f $ é o fator de atrito
- $ L $ é o comprimento da tubulação
- $ D $ é o diâmetro da tubulação
- $ V $ é a velocidade do fluido
Precisamos encontrar a velocidade $ V $, mas primeiro vamos relacionar a vazão $ Q $ com a velocidade:
Onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação:
Passo 4
Vamos calcular a área da tubulação:
Passo 5
Agora, expressamos a perda de carga em termos da vazão:
Substituindo na equação de Darcy-Weisbach:
Rearranjando para encontrar $ Q $:
Passo 6
Precisamos determinar o fator de atrito $ f $. Para isso, usamos a fórmula de Colebrook para escoamento turbulento:
Onde $ Re $ é o número de Reynolds:
Como a equação de Colebrook é implícita em $ f $, vamos assumir que o fluxo é turbulento e usar uma estimativa inicial para $ f $. Para tubos lisos, $ f $ está aproximadamente entre 0,02 e 0,03.
Passo 7
Vamos assumir $ f = 0,02 $ para nossa estimativa inicial.
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos verificar se nossa suposição de $ f = 0,02 $ está adequada calculando o número de Reynolds:
Com $ Re = 795000 $, o fluxo é definitivamente turbulento, e nossa estimativa de $ f = 0,02 $ está razoável.
Resposta
A vazão máxima permitida é aproximadamente $ 0,313 , m^3/s $.