Uma tubulação (e=0,125 mm) de 50 cm de diâmetro e 3,0 km de extensão é usada para transportar água a aproximadamente 20^circ C(v=1,0 times 10^-6 m^2 / s). Qual será a vazão máxima se for permitida uma perda de carga de 15 m na tubulação? Desprezar as perdas de carga localizadas. (2,0 pontos) square
material

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação que transporta água e precisa descobrir qual é a vazão máxima permitida, considerando uma perda de carga específica. Vamos focar em hidráulica de fluidos e usar algumas fórmulas básicas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Rugosidade da tubulação: $ e = 0,125 , mm = 0,000125 , m $
  • Diâmetro da tubulação: $ D = 50 , cm = 0,5 , m $
  • Comprimento da tubulação: $ L = 3,0 , km = 3000 , m $
  • Viscosidade cinemática da água: $ v = 1,0 \times 10^{-6} , m^2/s $
  • Perda de carga permitida: $ h_f = 15 , m $
  • Aceleração da gravidade: $ g = 9,81 , m/s^2 $

Passo 3

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para calcular a perda de carga:
hf = f cdot LD cdot V^22g
Onde:
- $ h_f $ é a perda de carga
- $ f $ é o fator de atrito
- $ L $ é o comprimento da tubulação
- $ D $ é o diâmetro da tubulação
- $ V $ é a velocidade do fluido
Precisamos encontrar a velocidade $ V $, mas primeiro vamos relacionar a vazão $ Q $ com a velocidade:
hf
Onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação:
f

Passo 4

Vamos calcular a área da tubulação:
A = pi (0,5)^24 = pi cdot 0,254 = 0,78544 = 0,19635 , m^2

Passo 5

Agora, expressamos a perda de carga em termos da vazão:
V = QA
Substituindo na equação de Darcy-Weisbach:
hf = f cdot LD cdot Q^22gA^2
Rearranjando para encontrar $ Q $:
Q

Passo 6

Precisamos determinar o fator de atrito $ f $. Para isso, usamos a fórmula de Colebrook para escoamento turbulento:
f
Onde $ Re $ é o número de Reynolds:
1raizf = -2 log ( e/D3,7 + 2,51Re raizf )
Como a equação de Colebrook é implícita em $ f $, vamos assumir que o fluxo é turbulento e usar uma estimativa inicial para $ f $. Para tubos lisos, $ f $ está aproximadamente entre 0,02 e 0,03.

Passo 7

Vamos assumir $ f = 0,02 $ para nossa estimativa inicial.
Substituindo os valores:
f = 0,02
Q = raiz 2 cdot 9,81 cdot 15 cdot 0,5 cdot (0,19635)^20,02 cdot 3000
Q = raiz 2 cdot 9,81 cdot 15 cdot 0,5 cdot 0,0385760
Q = raiz 2 cdot 9,81 cdot 15 cdot 0,5 cdot 0,0385760
Q = raiz 5,8960
Q = raiz0,0982

Passo 8

Vamos verificar se nossa suposição de $ f = 0,02 $ está adequada calculando o número de Reynolds:
f = 0,02
V = QA = 0,3130,19635 approx 1,59 , m/s
Com $ Re = 795000 $, o fluxo é definitivamente turbulento, e nossa estimativa de $ f = 0,02 $ está razoável.

Resposta

A vazão máxima permitida é aproximadamente $ 0,313 , m^3/s $.

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