sumn=1^infty (-1)^n-1n!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a soma da série infinita . Aqui, estamos lidando com séries infinitas e, mais especificamente, com uma série alternada envolvendo fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries infinitas e usar a famosa fórmula da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da expansão da série exponencial. Sabemos que:
sumn=0^infty (-1)^nn! = e^-1
Essa é a expansão de , onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é somar a série que começa em sumn=1^infty (-1)^n-1n! = -sumn=1^infty (-1)^nn! ao invés de . Vamos ajustar a nossa série da função exponencial para isso. Observe que:
Isso porque .

Passo 4

Sabemos que a soma de sumn=1^infty (-1)^nn! = e^-1 - (-1)^00! = e^-1 - 1 a sumn=1^infty (-1)^n-1n! = - (e^-1 - 1) = 1 - e^-1 de é . Então, a soma de a será essa soma total menos o primeiro termo (quando ):
Substituindo de volta na nossa expressão anterior:

Resposta

A soma da série é , ou aproximadamente .

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