Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a soma da série infinita
. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e, mais especificamente, com uma série alternada envolvendo fatoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar séries infinitas e usar a famosa fórmula da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da expansão da série exponencial. Sabemos que:
Essa é a expansão de
, onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é somar a série que começa em
ao invés de
. Vamos ajustar a nossa série da função exponencial para isso. Observe que:
Isso porque
.
Passo 4
Sabemos que a soma de
a
de
é
. Então, a soma de
a
será essa soma total menos o primeiro termo (quando
):
Substituindo de volta na nossa expressão anterior:
Resposta
A soma da série é
, ou aproximadamente
.