Se u v<0, o que acontece com os vetores Projv u e v ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e sabemos que o produto escalar deles é negativo ( ). Queremos descobrir o que isso significa para a projeção de sobre , ou seja, , em relação ao próprio vetor .
Matéria envolvida: Produto escalar de vetores e projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar u cdot v = |u| , |v| cos(theta) . O produto escalar é dado por:
onde e são os módulos (comprimentos) dos vetores, e é o ângulo entre eles.
Como , isso significa que é negativo. Sabemos que o cosseno é negativo quando o ângulo está entre e . Portanto, os vetores e formam um ângulo obtuso.

Passo 3

Agora, vamos ver como se calcula a projeção de Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre . A fórmula da projeção é:
Aqui, é um escalar que multiplica o vetor .

Passo 4

Como já sabemos que , o coeficiente será negativo. Isso significa que a projeção não está apontando na mesma direção de , mas sim na direção oposta.
Em outras palavras, a projeção de sobre tem sentido contrário ao vetor .

Resposta

Quando , a projeção de sobre , , aponta na direção oposta ao vetor .

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