Se U (de Prove o que segue sobre complementos de conjuntos. Aqui, as letras A, B e C denotam subconjuntos de um conjunto universo U.
c. A cup B cup C=barA cap barB cap barC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre complementos de conjuntos! A gente tem um conjunto universo U e três subconjuntos A, B e C. O que a gente precisa provar é que o complemento da união desses três conjuntos é igual à interseção dos complementos individuais deles, ou seja:
A cup B cup C = A cap B cap C
Para isso, vamos usar as propriedades básicas dos complementos e das operações com conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o complemento de um conjunto. O complemento de A, escrito como A, é tudo que está no universo U mas não está em A. Ou seja:
A = x in U mid x notin A
O mesmo vale para B e C.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: A cup B cup C. Isso significa todos os elementos que não estão na união de A, B e C. Em termos de lógica, isso é equivalente a:
x notin A cup B cup C

Passo 4

Sabendo que x notin A cup B cup C significa que x não está em nenhum dos conjuntos A, B ou C individualmente. Ou seja:
x notin A e x notin B e x notin C

Passo 5

Essa condição é a mesma que dizer que x está simultaneamente nos complementos de A, B e C. Em símbolos:
x in A e x in B e x in C
Ou seja:
x in A cap B cap C

Resposta

Portanto, mostramos que:
A cup B cup C = A cap B cap C

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