Se (de Prove o que segue sobre complementos de conjuntos. Aqui, as letras e denotam subconjuntos de um conjunto universo .
a. se e somente se .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que dois conjuntos e são iguais se, e somente se, os seus complementos e também forem iguais. Aqui, estamos trabalhando com complementos de conjuntos dentro de um conjunto universo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser igual a outro e o que é o complemento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois conjuntos são iguais. Dizemos que se todo elemento de está em e todo elemento de está em . Em outras palavras, e .
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o complemento de um conjunto. O complemento de , denotado por , é o conjunto de todos os elementos que estão no universo mas não estão em . Formalmente:
Passo 4
Vamos começar provando a primeira parte: se , então .
Assumindo que , qualquer elemento que não está em também não est�� em , e vice-versa. Portanto, os complementos e contêm exatamente os mesmos elementos. Logo, .
Passo 5
Agora, vamos provar a segunda parte: se , então .
Se os complementos são iguais, , então qualquer elemento que não está em também não está em , e vice-versa. Isso significa que os conjuntos e devem conter exatamente os mesmos elementos, pois os elementos fora deles são os mesmos. Portanto, .