Se (de Prove o que segue sobre complementos de conjuntos. Aqui, as letras e denotam subconjuntos de um conjunto universo .
a. se e somente se .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que dois conjuntos e são iguais se, e somente se, os seus complementos e também forem iguais. Aqui, estamos trabalhando com complementos de conjuntos dentro de um conjunto universo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser igual a outro e o que é o complemento de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois conjuntos são iguais. Dizemos que se todo elemento de está em e todo elemento de está em . Em outras palavras, e .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o complemento de um conjunto. O complemento de , denotado por , é o conjunto de todos os elementos que estão no universo mas não estão em . Formalmente:

Passo 4

Vamos começar provando a primeira parte: se , então .
Assumindo que , qualquer elemento que não está em também não est�� em , e vice-versa. Portanto, os complementos e contêm exatamente os mesmos elementos. Logo, .

Passo 5

Agora, vamos provar a segunda parte: se , então .
Se os complementos são iguais, , então qualquer elemento que não está em também não está em , e vice-versa. Isso significa que os conjuntos e devem conter exatamente os mesmos elementos, pois os elementos fora deles são os mesmos. Portanto, .

Resposta

Concluímos que se e somente se .

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Se (de Prove o que segue sobre complementos de conjuntos. Aqui, as letras e denotam subconjuntos de um conjunto universo .
c. .
Dois candidatos, e , disputam a presidência de uma empresa. A probabilidade de o candidato vencer é de 0,70; ao passo que a de B vencer é de 0,30 . Se o candidato vencer essa disputa, a probabilidade de Heloísa ser promovida a diretora dessa empresa é de 0,80; já se o candidato B vencer, essa probabilidade será de 0,30. A probabilidade de Heloísa, após a disputa da presidência dessa empresa, ser promovida a diretora, é de
a) 0,50
b) 0,45
c) 0,65
d) 0,56
e) 0,55
Estabeleça relações análogas entre as noções e da teoria dos conjuntos e noções da álgebra booleana.
Seja
a) Construir o gráfico de .