U real (T, V, N)=U ideal (T, N)+integralinfty^V(partial Upartial V^V)T d V
Mostre que isto implica que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma expressão para a energia interna de um gás real em termos da energia interna de um gás ideal e uma integral que envolve a variação da energia interna com o volume. Nosso objetivo é mostrar que a capacidade calorífica a volume constante ( CV) para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal. Para isso, vamos precisar entender como a energia interna se relaciona com a capacidade calorífica e como essas expressões se comportam para gases ideais e de Van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante ( CV) é definida como a derivada da energia interna ( U) em relação à temperatura ( T) mantendo o volume constante. Ou seja:
CV = (partial Upartial T)V
Isso significa que para encontrar CV, precisamos ver como a energia interna muda com a temperatura quando o volume não está mudando.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão que o enunciado nos deu:
Ureal(T, V, N) = Uideal(T, N) + integralinfty^V (partial Upartial V)T dV
Aqui, Ureal é a energia interna do gás real, e Uideal é a energia interna do gás ideal. A integral adiciona a correção devido ao comportamento não ideal do gás real em função do volume.

Passo 4

Vamos derivar Ureal em relação à temperatura mantendo o volume constante para encontrar CV:
CV^real = (partial Urealpartial T)V = (partial Uidealpartial T)N + (partialpartial T integralinfty^V (partial Upartial V)T dV )V
A primeira parte, (partial Uidealpartial T)N, já é conhecida como a capacidade calorífica a volume constante para um gás ideal, que chamaremos de CV^ideal.

Passo 5

Vamos analisar a segunda parte da expressão. A derivada de uma integral onde o limite superior é uma constante ( V mantendo constante) e o limite inferior é infinito (que também é constante), resulta na integral da derivada sob as mesmas condições. Então temos:
(partialpartial T integralinfty^V (partial Upartial V)T dV )V = integralinfty^V (partial^2 Upartial T partial V) dV

Passo 6

Para um gás de Van der Waals, a energia interna U depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que:
(partial Upartial V)T = 0
Então, a segunda derivada também será zero:
(partial^2 Upartial T partial V) = 0

Passo 7

Voltando à expressão para CV^real, vemos que a integral se anula:
CV^real = CV^ideal + 0 = CV^ideal

Resposta

Portanto, mostramos que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal, ou seja:
CV^real = CV^ideal

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