Mostre que isto implica que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma expressão para a energia interna de um gás real em termos da energia interna de um gás ideal e uma integral que envolve a variação da energia interna com o volume. Nosso objetivo é mostrar que a capacidade calorífica a volume constante (
) para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal. Para isso, vamos precisar entender como a energia interna se relaciona com a capacidade calorífica e como essas expressões se comportam para gases ideais e de Van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante (
) é definida como a derivada da energia interna (
) em relação à temperatura (
) mantendo o volume constante. Ou seja:
Isso significa que para encontrar
, precisamos ver como a energia interna muda com a temperatura quando o volume não está mudando.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão que o enunciado nos deu:
Aqui,
é a energia interna do gás real, e
é a energia interna do gás ideal. A integral adiciona a correção devido ao comportamento não ideal do gás real em função do volume.
Passo 4
Vamos derivar
em relação à temperatura mantendo o volume constante para encontrar
:
A primeira parte,
, já é conhecida como a capacidade calorífica a volume constante para um gás ideal, que chamaremos de
.
Passo 5
Vamos analisar a segunda parte da expressão. A derivada de uma integral onde o limite superior é uma constante (
mantendo constante) e o limite inferior é infinito (que também é constante), resulta na integral da derivada sob as mesmas condições. Então temos:
Passo 6
Para um gás de Van der Waals, a energia interna
depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que:
Então, a segunda derivada também será zero:
Passo 7
Voltando à expressão para
, vemos que a integral se anula:
Resposta
Portanto, mostramos que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal, ou seja: