Mostre que isto implica que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma expressão para a energia interna de um gás real em termos da energia interna de um gás ideal e uma integral que envolve a variação da energia interna com o volume. Nosso objetivo é mostrar que a capacidade calorífica a volume constante ( ) para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal. Para isso, vamos precisar entender como a energia interna se relaciona com a capacidade calorífica e como essas expressões se comportam para gases ideais e de Van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade calorífica a volume constante ( ) é definida como a derivada da energia interna ( ) em relação à temperatura ( ) mantendo o volume constante. Ou seja:
Isso significa que para encontrar , precisamos ver como a energia interna muda com a temperatura quando o volume não está mudando.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão que o enunciado nos deu:
Aqui, é a energia interna do gás real, e é a energia interna do gás ideal. A integral adiciona a correção devido ao comportamento não ideal do gás real em função do volume.

Passo 4

Vamos derivar em relação à temperatura mantendo o volume constante para encontrar :
A primeira parte, , já é conhecida como a capacidade calorífica a volume constante para um gás ideal, que chamaremos de .

Passo 5

Vamos analisar a segunda parte da expressão. A derivada de uma integral onde o limite superior é uma constante ( mantendo constante) e o limite inferior é infinito (que também é constante), resulta na integral da derivada sob as mesmas condições. Então temos:

Passo 6

Para um gás de Van der Waals, a energia interna depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que:
Então, a segunda derivada também será zero:

Passo 7

Voltando à expressão para , vemos que a integral se anula:

Resposta

Portanto, mostramos que a capacidade calorífica a volume constante para um gás de Van der Waals é igual à capacidade calorífica a volume constante de um gás ideal, ou seja:

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Dados para o (g, 10 bar) Fonte: NIST
299 0,40292 29,583
300 0,40155 29,580
301 0,40018 29,577
calcule o coeficiente Joule-Thomson para o nitrogênio a 300K. Qual seria a temperatura final de uma amostra de nitrogênio, inicialmente a 300 K e 10 bar, forçada de modo isoentálpico através de um estrangulamento que reduz a sua pressão a 1 bar? .
a partir dos dados da seguinte tabela a . Calcule a energia livre diretamente e também através da combinação dos dados de entalpia e entropia.
Substância
0
250,3 205,138 159,8
0
ou .
Calcule a fugacidade para um gás que possua , a 10,0 atm e .