Se u e v forem ortonormais, mostre que |alpha u+beta v|=raizalpha^2+beta^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para demonstrar que, se e são vetores ortonormais, então a norma de é igual a . Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortonormais e norma de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortonormais e como calcular a norma de uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ortonormalidade. Dois vetores e são ortonormais se eles são ortogonais (ou seja, o produto interno ) e cada um tem norma igual a 1 (ou seja, ).

Passo 3

Agora, queremos encontrar a norma do vetor . A norma de um vetor é dada por . Então, vamos calcular .

Passo 4

Calculando o produto interno:
| alpha u + beta v | = raiz (alpha u + beta v) cdot (alpha u + beta v)

Passo 5

Expandindo o produto interno:
(alpha u + beta v) cdot (alpha u + beta v) = alpha^2 (u cdot u) + 2alphabeta (u cdot v) + beta^2 (v cdot v)

Passo 6

Sabemos que alpha^2 (1) + 2alphabeta (0) + beta^2 (1) = alpha^2 + beta^2 e , e como e são ortogonais, . Substituindo esses valores:

Passo 7

Portanto, a norma fica:
| alpha u + beta v | = raiz alpha^2 + beta^2

Resposta

Então, mostramos que quando e são vetores ortonormais.

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