Se
e
forem ortonormais, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para demonstrar que, se
e
são vetores ortonormais, então a norma de
é igual a
. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortonormais e norma de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortonormais e como calcular a norma de uma combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ortonormalidade. Dois vetores
e
são ortonormais se eles são ortogonais (ou seja, o produto interno
) e cada um tem norma igual a 1 (ou seja,
).
Passo 3
Agora, queremos encontrar a norma do vetor
. A norma de um vetor
é dada por
. Então, vamos calcular
.
Passo 4
Calculando o produto interno:
Passo 5
Expandindo o produto interno:
Passo 6
Sabemos que
e
, e como
e
são ortogonais,
. Substituindo esses valores:
Passo 7
Portanto, a norma fica:
Resposta
Então, mostramos que
quando
e
são vetores ortonormais.
Exercícios relacionados
Dados
e
, calcular
Cite os seguintes postulados da determinação da reta e do plano.(1pt)
Se
e
são pontos colineares, determine
, sendo
e
Dados
e
, calcular