(Uespi) Um planeta orbita em um movimento circular uniforme de período T e raio R, com centro em uma estrela. Se o período do movimento do planeta aumentar para 8T, por qual fator o raio da sua órbita será multiplicado? a) 1 4 b) 1 2 c) 2 d) 4 e) 8

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! Estamos lidando com movimento circular uniforme, especificamente com a órbita de um planeta ao redor de uma estrela. O que a questão quer saber é: se o período de revolução do planeta aumenta de T para 8T, como isso afeta o raio da órbita dele? Para resolver isso, vamos precisar usar a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita com o raio da órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Terceira Lei de Kepler. Ela afirma que o quadrado do período de revolução (T²) é proporcional ao cubo do raio da órbita (R³). Em fórmula, fica assim:
T^2 propto R^3
Isso significa que se o período muda, o raio também muda de uma maneira que mantém essa proporção.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa proporção em uma equação usando uma constante de proporcionalidade (k):
T^2 = k cdot R^3
Quando o período muda de T para 8T, temos:
(8T)^2 = k cdot Rnovo^3
Isso simplifica para:
64T^2 = k cdot Rnovo^3

Passo 4

Sabemos que originalmente:
T^2 = k cdot R^3
Podemos substituir $ k $ na segunda equação:
k
Simplificando, ficamos com:
64T^2 = (T^2) cdot Rnovo^3 / R^3

Passo 5

Agora, queremos encontrar o fator pelo qual o raio foi multiplicado. Vamos chamar esse fator de $ x $:
x
Então,
RnovoR = x
Sabemos que:
Rnovo^3R^3 = x^3
Para encontrar $ x $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
x^3 = 64
x

Resposta

O raio da órbita será multiplicado por 4. Alternativa d) 4

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