(Uespi) Um planeta orbita em um movimento circular uniforme de período T e raio R, com centro em uma estrela. Se o período do movimento do planeta aumentar para 8T, por qual fator o raio da sua órbita será multiplicado? a) 1 4 b) 1 2 c) 2 d) 4 e) 8
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! Estamos lidando com movimento circular uniforme, especificamente com a órbita de um planeta ao redor de uma estrela. O que a questão quer saber é: se o período de revolução do planeta aumenta de T para 8T, como isso afeta o raio da órbita dele? Para resolver isso, vamos precisar usar a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita com o raio da órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Terceira Lei de Kepler. Ela afirma que o quadrado do período de revolução (T²) é proporcional ao cubo do raio da órbita (R³). Em fórmula, fica assim:
Isso significa que se o período muda, o raio também muda de uma maneira que mantém essa proporção.
Passo 3
Agora, vamos transformar essa proporção em uma equação usando uma constante de proporcionalidade (k):
Quando o período muda de T para 8T, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Sabemos que originalmente:
Podemos substituir $ k $ na segunda equação:
Simplificando, ficamos com:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o fator pelo qual o raio foi multiplicado. Vamos chamar esse fator de $ x $:
Então,
Sabemos que:
Para encontrar $ x $, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Resposta
O raio da órbita será multiplicado por 4. Alternativa d) 4