(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo
é negativa é:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: queremos encontrar o menor número inteiro positivo
para o qual a parte imaginária do número complexo seja negativa. Para resolver isso, vamos usar a Fórmula de De Moivre, que nos ajuda a calcular potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Fórmula de De Moivre. Ela diz que para qualquer número complexo na forma , sua potência
pode ser calculada como:
Isso significa que, ao elevar o número complexo a uma potência, apenas o ângulo
é multiplicado por
.
Passo 3
Aplicando a Fórmula de De Moivre ao nosso número complexo, temos:
A parte imaginária desse número é . Queremos que essa parte seja negativa.
Passo 4
Sabemos que a funç��o seno é negativa quando o ângulo está nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico, ou seja, quando:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que satisfazem a condição.
Passo 5
Dividindo toda a desigualdade por
:
Multiplicando todos os termos por 8:
Isso significa que
deve ser um número inteiro entre 9 e 15 para que seja negativo.
Passo 6
Agora, queremos o menor número inteiro positivo que satisfaz essa condição. O menor número inteiro maior que 8 é 9. Vamos verificar:
Sabemos que
está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo. Portanto,
é o menor número que atende ao critério.
Resposta
O menor número inteiro positivo
é 9.
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Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Plote os seguintes cilindros em
:
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
© Centro um foco em
e um vértice em
.
© Centro
Dados o vértice
, o centro
e o comprimento da corda principal
de uma hipérbole, deduzir as equações de suas assíntotas.