Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) 4 x^2-45 y^2=180

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma hipérbole: . A matéria aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre hipérboles. Pra resolver, vamos precisar identificar os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima, as equações das assíntotas e fazer um esboço da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral das hipérboles é 4x^2180 - 45y^2180 = 1 Rightarrow x^245 - y^24 = 1 ou . No nosso caso, a equação é . Vamos dividir todos os termos por 180 para deixar no padrão:
Agora, temos a hipérbole na forma , onde e .

Passo 3

Vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole horizontal como esta, os vértices estão em a = raiz45 = 3raiz5 . Aqui, e porque não há deslocamento. Então:
Logo, os v��rtices são e .

Passo 4

Agora, os focos. A distância dos focos ao centro é c^2 = 45 + 4 = 49 Rightarrow c = 7 , onde . Vamos calcular:
Então, os focos estão em e .

Passo 5

A excentricidade e = ca = 73raiz5 = 7raiz515 approx 1,04 é a razão entre e :

Passo 6

A corda focal mínima, também chamada de “distância entre os vértices”, é Corda focal mínima = 2b^2a = 2 times 43raiz5 = 83raiz5 = 8raiz515 approx 2,38 . Vamos calcular:
í

Passo 7

As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são dadas por ba = 23raiz5 = 2raiz515 . Vamos calcular:
y = 2raiz515x e y = -2raiz515x
Então, as assíntotas são:

Passo 8

Por fim, vamos fazer um esboço da hipérbole. Sabemos que ela é horizontal, com vértices em , focos em , assíntotas com inclinações positivas e negativas, e a abertura da hipérbole irá se aproximar dessas assíntotas.

Resposta

  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
  • Corda focal mínima:
  • Equações das assíntotas: e
  • Esboço: Uma hipérbole horizontal centrada na origem, com os vértices e focos marcados conforme acima, e as assíntotas desenhadas atravessando os focos.

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