Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma hipérbole:
. A matéria aqui é Geometria Analítica, mais especificamente sobre hipérboles. Pra resolver, vamos precisar identificar os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima, as equações das assíntotas e fazer um esboço da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral das hipérboles é
ou
. No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir todos os termos por 180 para deixar no padrão:
Agora, temos a hipérbole na forma
, onde
e
.
Passo 3
Vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole horizontal como esta, os vértices estão em
. Aqui,
e
porque não há deslocamento. Então:
Logo, os v��rtices são
e
.
Passo 4
Agora, os focos. A distância dos focos ao centro é
, onde
. Vamos calcular:
Então, os focos estão em
e
.
Passo 5
A excentricidade
é a razão entre
e
:
Passo 6
A corda focal mínima, também chamada de “distância entre os vértices”, é
. Vamos calcular:
Passo 7
As equações das assíntotas para uma hipérbole horizontal são dadas por
. Vamos calcular:
Então, as assíntotas são:
Passo 8
Por fim, vamos fazer um esboço da hipérbole. Sabemos que ela é horizontal, com vértices em
, focos em
, assíntotas com inclinações positivas e negativas, e a abertura da hipérbole irá se aproximar dessas assíntotas.
Resposta
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
- Corda focal mínima:
- Equações das assíntotas:
e - Esboço: Uma hipérbole horizontal centrada na origem, com os vértices e focos marcados conforme acima, e as assíntotas desenhadas atravessando os focos.
Exercícios relacionados
Plote os seguintes cilindros em
:
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
.
(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo
é negativa é:
Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
© Centro um foco em
e um vértice em
.
© Centro