(UFRRJ) Um eucalipto de 16 m de altura ergue-se verticalmente sobre um terreno horizontal. Mas durante uma tempestade seu caule é quebrado em um ponto permanecendo preso ao tronco neste local; e seu topo é arremessado a uma distância de 4 m de sua base. Pode-se afirmar que o eucalipto foi quebrado a uma altura de:
a. 6,0 m. b. 6,5 m. c. 7,5 m. d. 8,5 m. e. 9,0 m.
a. 6,0 m. b. 6,5 m. c. 7,5 m. d. 8,5 m. e. 9,0 m.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um eucalipto de 16 metros de altura que, durante uma tempestade, é quebrado em um ponto desconhecido. O topo do tronco quebrado é arremessado a uma distância horizontal de 4 metros da base da árvore. Nosso objetivo é descobrir a altura exata onde o tronco foi quebrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis e conservação de energia.
Passo 2
Vamos chamar a altura onde o tronco foi quebrado de
. Assim, a parte superior do tronco que foi arremessada tem um comprimento de
metros.
Passo 3
Quando o tronco é quebrado, a parte superior começa a se mover como um projétil. Para encontrar a velocidade com que essa parte é arremessada, usamos a conservação de energia. A energia potencial gravitacional na altura
se transforma em energia cinética:
Aqui,
é a massa do tronco,
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente
) e
é a velocidade inicial.
Simplificando a equação para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento de projétil. Como o tronco é arremessado horizontalmente, a distância horizontal
que ele percorre é dada por:
Onde
é o tempo que o tronco leva para cair ao chão. O tempo de queda pode ser calculado usando a fórmula:
Substituindo
na equação de
:
Passo 5
Sabemos que a distância
é de 4 metros. Então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Entretanto, considerando as opções disponíveis (6,0 m; 6,5 m; 7,5 m; 8,5 m; 9,0 m), percebemos que a solução mais próxima é
.
Resposta
A altura em que o eucalipto foi quebrado é de 8,5 metros.