(UFRRJ) Um eucalipto de 16 m de altura ergue-se verticalmente sobre um terreno horizontal. Mas durante uma tempestade seu caule é quebrado em um ponto permanecendo preso ao tronco neste local; e seu topo é arremessado a uma distância de 4 m de sua base. Pode-se afirmar que o eucalipto foi quebrado a uma altura de:
a. 6,0 m. b. 6,5 m. c. 7,5 m. d. 8,5 m. e. 9,0 m.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um eucalipto de 16 metros de altura que, durante uma tempestade, é quebrado em um ponto desconhecido. O topo do tronco quebrado é arremessado a uma distância horizontal de 4 metros da base da árvore. Nosso objetivo é descobrir a altura exata onde o tronco foi quebrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis e conservação de energia.

Passo 2

Vamos chamar a altura onde o tronco foi quebrado de . Assim, a parte superior do tronco que foi arremessada tem um comprimento de metros.

Passo 3

Quando o tronco é quebrado, a parte superior começa a se mover como um projétil. Para encontrar a velocidade com que essa parte é arremessada, usamos a conservação de energia. A energia potencial gravitacional na altura se transforma em energia cinética:
Aqui, é a massa do tronco, é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ²) e é a velocidade inicial.
Simplificando a equação para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento de projétil. Como o tronco é arremessado horizontalmente, a distância horizontal que ele percorre é dada por:
Onde é o tempo que o tronco leva para cair ao chão. O tempo de queda pode ser calculado usando a fórmula:
Substituindo na equação de :

Passo 5

Sabemos que a distância é de 4 metros. Então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 7

Entretanto, considerando as opções disponíveis (6,0 m; 6,5 m; 7,5 m; 8,5 m; 9,0 m), percebemos que a solução mais próxima é .

Resposta

A altura em que o eucalipto foi quebrado é de 8,5 metros.

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