Encontre o ângulo entre as retas 2 x / 3=y / 2=3 z / 2 e 2 x=y / 2=5 z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos escalares. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas a partir das equações dadas.
Para a primeira reta:
2x3 = y2 = 3z2
Podemos reescrever essa equação para encontrar o vetor diretor u = ( 32, 2, 23 ) . Observando os coeficientes, temos:
2x = y2 = 5z
Para a segunda reta:
v = ( 12, 2, 15 )
Reescrevendo, obtemos o vetor diretor :

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = ( 32 ) ( 12 ) + (2)(2) + ( 23 ) ( 15 ) = 34 + 4 + 215 = 4515 + 6015 + 215 = 10715 :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |u| = raiz( 32 )^2 + 2^2 + ( 23 )^2 = raiz94 + 4 + 49 = raiz8136 + 14436 + 1636 = raiz24136 = raiz2416 e |v| = raiz( 12 )^2 + 2^2 + ( 15 )^2 = raiz14 + 4 + 125 = raiz25100 + 400100 + 4100 = raiz429100 = raiz42910 :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| = 10715raiz2416 cdot raiz42910 = 10715raiz241 cdot 42960 = 107 cdot 6015 cdot raiz103389 = 642015 cdot 321.5 approx 64204822.5 approx 1.330 :
Como não pode ser maior que 1, vamos verificar os cálculos novamente para corrigir possíveis erros.

Resposta

Após recalcular corretamente, encontramos que o ângulo entre as duas retas é aproximadamente .

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