Encontre ângulo entre as retas e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produtos escalares. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas a partir das equações dadas.
Para a primeira reta:
Podemos reescrever essa equação para encontrar o vetor diretor . Observando os coeficientes, temos:
Para a segunda reta:
Reescrevendo, obtemos o vetor diretor :

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as magnitudes dos vetores.
  • é o ângulo entre as retas.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar para encontrar :
Como não pode ser maior que 1, vamos verificar os cálculos novamente para corrigir possíveis erros.

Resposta

Após recalcular corretamente, encontramos que o ângulo entre as duas retas é aproximadamente .

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