Calcule a área do triângulo cujos vértices são intersecções de três retas y=-x, y=x e y=-2 x+3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a área de um triângulo formado pelas intersecções de três retas: , e . Isso envolve geometria analítica, onde vamos encontrar os pontos de intersecção dessas retas e, em seguida, usar uma fórmula para calcular a área do triângulo formado por esses pontos.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de intersecção das retas -x = x e -2x = 0 Rightarrow x = 0 . Para isso, igualamos as duas equações:
y = 0
Resolvendo para :
Substituindo em :
Portanto, o primeiro ponto de intersecção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a intersecção das retas x = -2x + 3 e 3x = 3 Rightarrow x = 1 . Igualamos as duas equações:
y = 1
Resolvendo para :
Substituindo em :
Então, o segundo ponto de intersecção é .

Passo 4

Em seguida, encontramos a intersecção das retas -x = -2x + 3 e x = 3 . Igualamos as duas equações:
y = -3
Resolvendo para :
Substituindo em :
Portanto, o terceiro ponto de intersecção é .

Passo 5

Agora que temos os três vértices do triângulo: Área = 12 | xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB) | , Área = 12 | 0(1 - (-3)) + 1((-3) - 0) + 3(0 - 1) | e Área = 12 | 0 + (-3) + (-3) | = 12 | -6 | = 12 times 6 = 3 , podemos calcular a área usando a fórmula da área de um triângulo com coordenadas dos vértices:
Á
Substituindo os valores:
Á
Á

Resposta

A área do triângulo é unidades quadradas.

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