(Unesp-SP) Um cilindro oco de 3,0m de comprimento, cujas bases são tampadas com papel fino, gira rapidamente em torno de seu eixo com velocidade angular constante. Uma bala disparada com velocidade de 600 m/s, paralelamente ao eixo do cilindro, perfura suas bases em dois pontos, P na primeira base e Q na segunda. Os efeitos da gravidade e da resistência do ar podem ser desprezados. A) Quanto tempo a bala levou para atravessar o cilindro? b) Examinando as duas bases de papel, verifica-se que entre P e Q há um deslocamento angular de 9°. Qual é a frequência de rotação do cilindro, em hertz, sabendo que não houve mais do que uma rotação do cilindro durante o tempo que a bala levou para atravessá-lo?.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro oco de 3,0 metros de comprimento que está girando com velocidade angular constante. Uma bala foi disparada paralelamente ao eixo do cilindro com uma velocidade de 600 m/s e perfura as duas bases do cilindro nos pontos P e Q. Precisamos resolver duas partes:
A) Calcular quanto tempo a bala levou para atravessar o cilindro.
B) Descobrir a frequência de rotação do cilindro, sabendo que houve um deslocamento angular de 9° entre os pontos P e Q durante o tempo que a bala percorreu o cilindro.
B) Descobrir a frequência de rotação do cilindro, sabendo que houve um deslocamento angular de 9° entre os pontos P e Q durante o tempo que a bala percorreu o cilindro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática linear e angular. Vamos precisar das fórmulas de velocidade, tempo e relação entre deslocamento linear e angular.
Passo 2
Vamos começar com a parte A: quanto tempo a bala levou para atravessar o cilindro.
Sabemos que velocidade é igual à distância dividida pelo tempo, ou seja:
Aqui, queremos encontrar o tempo $ t $, então rearranjando a fórmula:
Onde:
- $ d = 3,0 , m $ (comprimento do cilindro)
- $ v = 600 , m/s $ (velocidade da bala)
Passo 3
Vamos calcular o tempo:
Então, a bala levou 0,005 segundos para atravessar o cilindro.
Passo 4
Agora, vamos para a parte B: encontrar a frequência de rotação do cilindro.
Sabemos que durante o tempo que a bala atravessa o cilindro (0,005 s), o cilindro girou um ângulo de 9°. Queremos achar a frequência em hertz (rotação por segundo).
Primeiro, vamos entender que a frequência $ f $ está relacionada ao período $ T $ (tempo de uma rotação completa) pela fórmula:
Mas precisamos relacionar o ângulo girado com o tempo.
Passo 5
Sabemos que em 0,005 s, o cilindro girou 9°. Vamos converter esse ângulo para radianos, já que as fórmulas de rotação geralmente usam radianos.
Sabendo que $ 360° = 2\pi $ radianos, então:
Passo 6
A velocidade angular $ \omega $ é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, podemos relacionar a velocidade angular com a frequência. Sabemos que:
Então, podemos resolver para $ f $:
Substituindo $ \omega = 10\pi $:
Resposta
A) A bala levou 0,005 segundos para atravessar o cilindro.
B) A frequência de rotação do cilindro é de 5 Hz.