Uma única força conservativa age sobre uma partícula e varia de acordo com a expressão , onde e são constnates e está em metros.
(a) Calcule a função que descreve a energia potencial associada à essa força fazendo quando .
(b) Encontre a variação de energia cinética quando a partícula se move entre as posições e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física onde uma partícula está sujeita a uma força conservativa que depende da posição . Precisamos calcular duas coisas:
a) A função de energia potencial associada a essa força, com a condição de que quando .
b) A variação da energia cinética quando a partícula se move de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar força e energia potencial, além de usar o princípio da conservação de energia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a energia potencial .
Primeiro, sabemos que a força está relacionada à energia potencial pela equação:
Isso significa que podemos encontrar integrando a força em relação a .

Passo 3

Dada a força:
A componente na direção é:
Vamos integrar para encontrar :

Passo 4

Calculando a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição dada: quando .
Substituindo na expressão:

Passo 6

Portanto, a energia potencial fica:

Passo 7

Parte (b): Encontrar a variação da energia cinética de para .
A conservação de energia nos diz que a variação da energia cinética é igual à variação negativa da energia potencial:
Onde:

Passo 8

Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, calculamos a variação da energia cinética:
Vamos simplificar:
Para somar os termos com e , é bom encontrar um denominador comum. O denominador comum para é 2, e para é 3:

Resposta

(a) A energia potencial associada à força é:
(b) A variação da energia cinética quando a partícula se move de para é:

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