Uma única força conservativa age sobre uma partícula e varia de acordo com a expressão F=(-A x+B x^2) i N, onde A e B são constnates e x está em metros.
(a) Calcule a função que descreve a energia potencial associada à essa força fazendo U=0 quando x=0.
(b) Encontre a variação de energia cinética quando a partícula se move entre as posições x=2,00 m e x=3,00 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de física onde uma partícula está sujeita a uma força conservativa que depende da posição . Precisamos calcular duas coisas:
a) A função de energia potencial associada a essa força, com a condição de que quando .
b) A variação da energia cinética quando a partícula se move de para .
Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar força e energia potencial, além de usar o princípio da conservação de energia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a energia potencial F = -dUdx .
Primeiro, sabemos que a força está relacionada à energia potencial pela equação:
Isso significa que podemos encontrar integrando a força em relação a .

Passo 3

Dada a força:
F = (-A x + B x^2) i , N
A componente na direção F(x) = -A x + B x^2 é:
U(x) = -integral F(x) , dx = -integral (-A x + B x^2) , dx
Vamos integrar para encontrar :

Passo 4

Calculando a integral:
U(x) = integral (A x - B x^2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral A x , dx = A2 x^2 e integral B x^2 , dx = B3 x^3
Então,
U(x) = A2 x^2 - B3 x^3 + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição dada: 0 = A2 (0)^2 - B3 (0)^3 + C implies C = 0 quando .
Substituindo na expressão:

Passo 6

Portanto, a energia potencial fica:
U(x) = A2 x^2 - B3 x^3

Passo 7

Parte (b): Encontrar a variação da energia cinética De de para .
A conservação de energia nos diz que a variação da energia cinética é igual à variação negativa da energia potencial:
Onde:

Passo 8

Vamos calcular U(2) = A2 (2)^2 - B3 (2)^3 = 2A - 8B3 e U(3) = A2 (3)^2 - B3 (3)^3 = 9A2 - 9B :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, calculamos a variação da energia cinética:
De
Vamos simplificar:
De
Para somar os termos com De e , é bom encontrar um denominador comum. O denominador comum para é 2, e para é 3:

Resposta

(a) A energia potencial associada à força é:
U(x) = A2 x^2 - B3 x^3
(b) A variação da energia cinética quando a partícula se move de De para é:

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