Um bloco de massa m1 = 10 kg está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação 30 graus e está ligado por uma corda fina que passa sobre uma polia pequena a um segundo bloco suspenso de massa desconhecida m 2 . Os coeficientes de atrito cinético e estático são, respectivamente, 0,45 e 0,70 . A) Ache a massa m2 para o qual o bloco 1 sobe o plano com velocidade constante depois que ele entra em movimento. B) Para qual valor de m 2 os blocos permanecem em repouso depois de serem liberados a partir do repouso?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos dois blocos: o bloco 1 com massa está sobre um plano inclinado de 30 graus, e está ligado por uma corda a um segundo bloco com massa desconhecida . Os coeficientes de atrito cinético e estático são, respectivamente, 0,45 e 0,70. Precisamos resolver duas partes:
A) Encontrar a massa para que o bloco 1 suba o plano com velocidade constante após começar a se mover.
B) Determinar para qual valor de os blocos permanecem em repouso após serem liberados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, como forças em planos inclinados, atrito e equilíbrio de forças. Também vamos utilizar as fórmulas do atrito estático e cinético.

Passo 2

Vamos começar com a parte A: encontrar N = m1 g cos(theta) para que o bloco 1 se mova para cima com velocidade constante. Quando a velocidade é constante, a aceleração é zero, o que significa que todas as forças estão em equilíbrio.
As forças atuando no bloco 1 são:
  • A componente do peso fk = muk N = muk m1 g cos(theta) que age paralelamente ao plano: .
  • A força de atrito cinético, que impede o movimento: , onde é a força normal.
  • A tensão na corda, que está puxando o bloco para cima.
Primeiro, calculamos a força normal no bloco 1:
Então, a força de atrito cinético é:

Passo 3

Como a velocidade é constante, a soma das forças na direção do movimento deve ser zero:
T - m1 g sin(theta) - fk = 0
Substituindo T = m1 g sin(theta) + muk m1 g cos(theta) :
T = m2 g
Agora, analisamos o bloco 2. A única força atuando nele é o peso , que é igual à tensão na corda:

Passo 4

Igualando as duas expressões para m2 g = m1 g sin(theta) + muk m1 g cos(theta) :
m2 = m1 sin(theta) + muk m1 cos(theta)
Podemos cancelar m2 = 10 sin(30^circ) + 0,45 times 10 cos(30^circ) dos dois lados:
sin(30^circ) = 0,5
Agora, substituímos os valores:
  • cos(30^circ) approx 0,866
  • m2 = 10 times 0,5 + 0,45 times 10 times 0,866
  • m2 = 5 + 0,45 times 8,66
Calculando:
m2 = 5 + 3,897
Sabendo que:
m2 approx 8,897 , kg
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a parte B: encontrar T <= m1 g sin(theta) + fs para que os blocos permaneçam em repouso após serem liberados. Aqui, devemos considerar o atrito estático, que impede o movimento até que uma força suficiente seja aplicada.
As forças atuando no bloco 1 são:
  • A componente do peso fs = mus N = mus m1 g cos(theta) .
  • A força de atrito estático máximo: m2 g <= m1 g sin(theta) + mus m1 g cos(theta) .
  • A tensão m2 <= m1 sin(theta) + mus m1 cos(theta) na corda, que tenta puxar o bloco para cima.
Para que os blocos permaneçam em repouso, a força puxando para cima não pode superar a soma das outras forças:
m2 <= 10 times 0,5 + 0,70 times 10 times 0,866
Calculando m2 <= 5 + 0,70 times 8,66 :
m2 <= 5 + 6,062
Substituindo na desigualdade:
m2 <= 11,062 , kg
Cancelando :
Substituindo os valores:

Resposta

A) A massa para que o bloco 1 suba o plano com velocidade constante é aproximadamente 8,90 kg.
B) A massa para que os blocos permaneçam em repouso após serem liberados é 11,06 kg ou menos.

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