Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial de 1º grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma companhia aérea que faz um voo diário entre a cidade A e a cidade B. O número de passageiros que embarcam nesse voo depende do preço da passagem. Queremos descobrir qual é o preço da passagem que faz a companhia maximizar a receita desse voo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e maximização de funções, que são tópicos de Álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a receita. Receita é o total de dinheiro que a companhia ganha com as passagens vendidas. Ela é calculada multiplicando o preço da passagem pelo número de passageiros. Ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir como o número de passageiros varia com o preço da passagem. A questão nos diz que quando o preço é R$200,00, comparecem 120 passageiros. Além disso, para cada aumento de R$10,00 no preço, há uma redução de 4 passageiros. Isso indica que a relação entre o preço e o número de passageiros é uma função linear.
Vamos montar essa função. Sabemos que para cada R$10,00 a mais no preço, os passageiros diminuem 4. Então, a inclinação (coeficiente angular) da função é:
Agora, podemos escrever a função linear na forma $ y = mx + b $. Já temos $ m = -0,4 $ e sabemos que quando $ x = 200 $, $ y = 120 $. Vamos encontrar $ b $:
Então, a função que relaciona o preço da passagem com o número de passageiros é:
Passo 4
Com a função $ y = -0,4x + 200 $, podemos expressar a receita em termos de $ x $:
Essa é uma função quadrática que representa a receita em função do preço da passagem. Para encontrar o preço que maximiza a receita, precisamos encontrar o valor de $ x $ que maximiza essa função.
Passo 5
Sabemos que uma função quadrática da forma $ R = ax^2 + bx + c $ tem seu ponto máximo (ou mínimo) no vértice da parábola. Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -0,4 $), o gráfico é uma parábola que abre para baixo, e o vértice representa o ponto máximo.
A coordenada $ x $ do vértice é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
O preço que maximiza a receita é de R$ 250,00.