Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com símbolos distintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelo menos 4 bolas do conjunto sejam pretas?
Passo 1
Beleza! A gente tem aqui um problema de combinações, que faz parte da combinatória. Temos uma urna com 10 bolas brancas e 6 pretas, todas diferentes. Queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 7 bolas, garantindo que pelo menos 4 delas sejam pretas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a contar de quantas formas podemos selecionar itens sem se preocupar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 4 pretas”. Isso quer dizer que no conjunto de 7 bolas, podemos ter 4, 5 ou até 6 bolas pretas. Vamos calcular cada um desses casos separadamente.
Passo 3
Caso 1: 4 bolas pretas e 3 brancas
A gente precisa calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 bolas pretas dentre as 6 disponíveis e, ao mesmo tempo, 3 bolas brancas dentre as 10 disponíveis.
A fórmula de combinação é dada por:
Então, para esse caso:
Passo 4
Caso 2: 5 bolas pretas e 2 brancas
Aqui, a gente escolhe 5 pretas das 6 e 2 brancas das 10.
Passo 5
Caso 3: 6 bolas pretas e 1 branca
Finalmente, vamos escolher todas as 6 pretas e 1 branca das 10.
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
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Caso 1:
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Caso 2:
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Caso 3:
Passo 7
Finalmente, somamos os resultados dos três casos para obter o total de maneiras possíveis:
Resposta
Existem 2.080 maneiras de formar conjuntos de 7 bolas com pelo menos 4 pretas.