Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com símbolos distintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelo menos 4 bolas do conjunto sejam pretas?

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui um problema de combinações, que faz parte da combinatória. Temos uma urna com 10 bolas brancas e 6 pretas, todas diferentes. Queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 7 bolas, garantindo que pelo menos 4 delas sejam pretas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a contar de quantas formas podemos selecionar itens sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 4 pretas”. Isso quer dizer que no conjunto de 7 bolas, podemos ter 4, 5 ou até 6 bolas pretas. Vamos calcular cada um desses casos separadamente.

Passo 3

Caso 1: 4 bolas pretas e 3 brancas
A gente precisa calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 bolas pretas dentre as 6 disponíveis e, ao mesmo tempo, 3 bolas brancas dentre as 10 disponíveis.
A fórmula de combinação é dada por:
binomnk = n!k!(n-k)!
Então, para esse caso:
binom64 times binom103

Passo 4

Caso 2: 5 bolas pretas e 2 brancas
Aqui, a gente escolhe 5 pretas das 6 e 2 brancas das 10.
binom65 times binom102

Passo 5

Caso 3: 6 bolas pretas e 1 branca
Finalmente, vamos escolher todas as 6 pretas e 1 branca das 10.
binom66 times binom101

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  1. Caso 1:
    binom64 = 15 e binom103 = 120 15 times 120 = 1800
  2. Caso 2:
    binom65 = 6 e binom102 = 45 6 times 45 = 270
  3. Caso 3:
    binom66 = 1 e binom101 = 10 1 times 10 = 10

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados dos três casos para obter o total de maneiras possíveis:
1800 + 270 + 10 = 2080

Resposta

Existem 2.080 maneiras de formar conjuntos de 7 bolas com pelo menos 4 pretas.

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