Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
d) variância e desvio padrão da v.a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. Vamos tirar 5 bolas da urna, uma de cada vez, e sempre colocamos a bola de volta (isso é o que significa “com reposição”). Queremos descobrir a variância e o desvio padrão da variável aleatória , que representa o número de bolas verdes que tiramos nessas 5 retiradas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial, que é perfeita para situações onde há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa (neste caso, verde ou não verde).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Nessa situação:
  • n é o número de tentativas, que são as 5 retiradas.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a probabilidade de tirar uma bola verde.
Como temos 20 bolas verdes e 50 no total, a probabilidade de tirar uma bola verde em uma tentativa é:
p = 2050 = 0,4

Passo 3

Agora que temos Var(X) = n cdot p cdot (1 - p) e Var(X) = 5 cdot 0,4 cdot (1 - 0,4) = 5 cdot 0,4 cdot 0,6 , podemos calcular a variância da variável aleatória Var(X) = 5 cdot 0,24 = 1,2 . A fórmula da variância para uma distribuição binomial é:
Vamos substituir os valores:

Passo 4

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Então, vamos calcular:
sigmaX = raizVar(X) = raiz1,2 approx 1,095

Resposta

A variância da variável aleatória é 1,2 e o desvio padrão é aproximadamente 1,095.

Exercícios relacionados