Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
supondo a extraçāo com reposiçāo;

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma urna com 4 bolas brancas, 4 pretas e 4 vermelhas, totalizando 12 bolas. Vamos sacar 6 bolas, com reposição, ou seja, depois de sacar uma bola, ela volta pra urna antes do próximo saque. Queremos saber qual é a probabilidade de, nos 6 saques, saírem exatamente 2 bolas de cada cor (2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente a distribuição multinomial.

Passo 2

Primeiro, como a extração é com reposição, cada saque é independente dos outros. Isso significa que a probabilidade de tirar cada cor não muda a cada saque. Vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola de cada cor:
  • Probabilidade de tirar uma bola branca (P(B)) = número de bolas brancas / total de bolas = 4/12 = 1/3
  • Probabilidade de tirar uma bola preta (P§) = 4/12 = 1/3
  • Probabilidade de tirar uma bola vermelha (P(V)) = 4/12 = 1/3

Passo 3

Agora, queremos que em 6 saques, tenham saído exatamente 2 bolas de cada cor. Isso é um caso de distribuição multinomial, onde queremos combinar as probabilidades de cada evento acontecer um certo número de vezes. A fórmula geral da distribuição multinomial é:
P = n!k1! cdot k2! cdot k3! cdot p1^k1 cdot p2^k2 cdot p3^k3
Onde:
  • $ n $ é o número total de saques (6)
  • $ k_1, k_2, k_3 $ são os números de vezes que cada evento ocorre (2 para cada cor)
  • $ p_1, p_2, p_3 $ são as probabilidades de cada evento (1/3 para cada cor)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = 6!2! cdot 2! cdot 2! cdot (13)^2 cdot (13)^2 cdot (13)^2
Primeiro, calculamos o fatorial:
  • $ 6! = 720 $
  • $ 2! = 2 $
Então:
6! = 720

Passo 5

Simplificando:
P = 7208 cdot 1729 = 90 cdot 1729 = 90729
Agora, vamos simplificar a fração:
90729 = 1081 approx 0,123

Resposta

A probabilidade de sacar exatamente 2 bolas de cada cor é $ \frac{10}{81} $ ou aproximadamente 12,3 %.

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