Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
supondo a extraçāo sem reposiçāo.
supondo a extraçāo sem reposiçāo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber para resolver. A gente tem uma urna com 4 bolas brancas, 4 pretas e 4 vermelhas, totalizando 12 bolas. A gente vai tirar 6 bolas dessa urna sem colocar de volta (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de, nessas 6 bolas tiradas, a gente pegar exatamente 2 bolas de cada cor (2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade combinatória, que envolve contar o número de maneiras de um evento acontecer em relação ao total de possibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de tirar 6 bolas de 12, sem se importar com as cores. Isso é uma combinação, porque a ordem em que tiramos as bolas não importa.
A fórmula para combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens que queremos escolher,
- $ ! $ significa fatorial (produto de todos os números inteiros positivos até aquele número).
Aplicando isso:
Então, existem 924 maneiras diferentes de tirar 6 bolas de 12.
Passo 3
Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, as maneiras de tirar exatamente 2 bolas de cada cor.
Para isso, vamos calcular separadamente para cada cor e depois multiplicar, já que queremos que todas as condições aconteçam juntas.
- Bolas Brancas: Temos 4 e queremos tirar 2.
- Bolas Pretas: Também temos 4 e queremos tirar 2.
- Bolas Vermelhas: Novamente, 4 bolas e queremos tirar 2.
Agora, multiplicamos as combinações de cada cor:
Então, há 216 maneiras de tirar exatamente 2 bolas de cada cor.
Passo 4
Finalmente, para encontrar a probabilidade desse evento, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis.
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 12:
Resposta
A probabilidade de tirar exatamente 2 bolas de cada cor é aproximadamente 23,38%.