Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
supondo a extraçāo sem reposiçāo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber para resolver. A gente tem uma urna com 4 bolas brancas, 4 pretas e 4 vermelhas, totalizando 12 bolas. A gente vai tirar 6 bolas dessa urna sem colocar de volta (sem reposição). A pergunta é: qual a probabilidade de, nessas 6 bolas tiradas, a gente pegar exatamente 2 bolas de cada cor (2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade combinatória, que envolve contar o número de maneiras de um evento acontecer em relação ao total de possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de tirar 6 bolas de 12, sem se importar com as cores. Isso é uma combinação, porque a ordem em que tiramos as bolas não importa.
A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher,
  • $ ! $ significa fatorial (produto de todos os números inteiros positivos até aquele número).
Aplicando isso:
n
Então, existem 924 maneiras diferentes de tirar 6 bolas de 12.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, as maneiras de tirar exatamente 2 bolas de cada cor.
Para isso, vamos calcular separadamente para cada cor e depois multiplicar, já que queremos que todas as condições aconteçam juntas.
  • Bolas Brancas: Temos 4 e queremos tirar 2.
C(4, 2) = 4!2! times (4 - 2)! = 6
  • Bolas Pretas: Também temos 4 e queremos tirar 2.
C(4, 2) = 6
  • Bolas Vermelhas: Novamente, 4 bolas e queremos tirar 2.
C(4, 2) = 6
Agora, multiplicamos as combinações de cada cor:
6 times 6 times 6 = 216
Então, há 216 maneiras de tirar exatamente 2 bolas de cada cor.

Passo 4

Finalmente, para encontrar a probabilidade desse evento, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis.
P = Maneiras FavoráveisTotal de Maneiras = 216924 á
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 12:
216 div 12924 div 12 = 1877 approx 0,2338

Resposta

A probabilidade de tirar exatamente 2 bolas de cada cor é aproximadamente 23,38%.

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