Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Tiramos 3 bolas de uma vez. A gente ganha R$200 por cada bola branca que tirar e perde R$100 por cada preta. O que a gente precisa encontrar aqui é a função de massa de probabilidade do lucro, ou seja, as diferentes possibilidades de lucro que podemos ter e as probabilidades de cada uma acontecer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como estamos retirando 3 bolas, podemos ter:
- 0 bolas brancas e 3 pretas
- 1 bola branca e 2 pretas
- 2 bolas brancas e 1 preta
- 3 bolas brancas e 0 pretas
Cada uma dessas combinações vai nos dar um lucro diferente.
Passo 3
Agora, vamos calcular qual é o lucro em cada caso:
-
0 bolas brancas e 3 pretas:
- Lucro:
reais
- Lucro:
-
1 bola branca e 2 pretas:
- Lucro:
reais
- Lucro:
-
2 bolas brancas e 1 preta:
- Lucro:
reais
- Lucro:
-
3 bolas brancas e 0 pretas:
- Lucro:
reais
- Lucro:
Passo 4
Agora, precisamos achar a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinações:
Onde:
-
representa o número de combinações de n elementos tomados k a k. -
varia de 0 a 3 nesse caso.
Vamos calcular cada probabilidade:
-
P(0 bolas brancas):
-
P(1 bola branca):
-
P(2 bolas brancas):
-
P(3 bolas brancas):
Passo 5
Vamos simplificar as frações:
-
P(-300):
-
P(0):
-
P(300):
-
P(600):
Resposta
A função de massa de probabilidade do lucro é: