Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. Tiramos 3 bolas de uma vez. A gente ganha R$200 por cada bola branca que tirar e perde R$100 por cada preta. O que a gente precisa encontrar aqui é a função de massa de probabilidade do lucro, ou seja, as diferentes possibilidades de lucro que podemos ter e as probabilidades de cada uma acontecer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como estamos retirando 3 bolas, podemos ter:
  • 0 bolas brancas e 3 pretas
  • 1 bola branca e 2 pretas
  • 2 bolas brancas e 1 preta
  • 3 bolas brancas e 0 pretas
Cada uma dessas combinações vai nos dar um lucro diferente.

Passo 3

Agora, vamos calcular qual é o lucro em cada caso:
  1. 0 bolas brancas e 3 pretas:
    • Lucro: reais
  2. 1 bola branca e 2 pretas:
    • Lucro: reais
  3. 2 bolas brancas e 1 preta:
    • Lucro: reais
  4. 3 bolas brancas e 0 pretas:
    • Lucro: reais

Passo 4

Agora, precisamos achar a probabilidade de cada uma dessas combinações acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinações:
P(k bolas brancas) = binom5k times binom73 - kbinom123
Onde:
  • P(0) = binom50 times binom73binom123 = 1 times 35220 = 35220 representa o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • P(1) = binom51 times binom72binom123 = 5 times 21220 = 105220 varia de 0 a 3 nesse caso.
Vamos calcular cada probabilidade:
  1. P(0 bolas brancas):
    P(2) = binom52 times binom71binom123 = 10 times 7220 = 70220
  2. P(1 bola branca):
    P(3) = binom53 times binom70binom123 = 10 times 1220 = 10220
  3. P(2 bolas brancas):
  4. P(3 bolas brancas):

Passo 5

Vamos simplificar as frações:
  1. P(-300):
    35220 = 744 approx 0,1591
  2. P(0):
    105220 = 2144 approx 0,4773
  3. P(300):
    70220 = 722 approx 0,3182
  4. P(600):
    10220 = 122 approx 0,0455

Resposta

A função de massa de probabilidade do lucro é:
P(Lucro = -300) = 744 approx 0,1591 P(Lucro = 0) = 2144 approx 0,4773 P(Lucro = 300) = 722 approx 0,3182 P(Lucro = 600) = 122 approx 0,0455

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