Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
F(x)=l0, se x<10 ; 0,2, se 10 <= x<12 ; 0,5, se 12 <= x<13 ; 0,9, se 13 <= x<25 ; 1, se x >= 25
Determine:
a) A função de massa de probabilidade de X;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada (F(x)) de uma variável aleatória X e pede para determinarmos a função de massa de probabilidade (PMF) de X.
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com variáveis aleatórias discretas e suas funções de distribuição. Precisamos entender como passar da função de distribuição acumulada para a função de massa de probabilidade.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma função de distribuição acumulada (CDF).
  • Saber como derivar a função de massa de probabilidade (PMF) a partir da CDF.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (F(x)). Ela nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x, ou seja, F(x) = P(X ≤ x).
No nosso caso, a F(x) é dada por partes:
F(x) = 0, & se x < 10 0,2, & se 10 <= x < 12 0,5, & se 12 <= x < 13 0,9, & se 13 <= x < 25 1, & se x >= 25

Passo 3

Agora, para encontrar a função de massa de probabilidade (PMF), que chamaremos de p(x), precisamos determinar as probabilidades de X assumir exatamente cada um dos valores discretos.
A relação entre a PMF e a CDF é:
p(x) = F(x) - F(x^-)
Onde é o limite da função F(x) quando x se aproxima por abaixo.

Passo 4

Vamos identificar os pontos onde a função F(x) aumenta, pois é nesses pontos que a variável X pode assumir valores com probabilidades positivas.
Analisando F(x):
  • De 10 a 12, F(x) aumenta de 0 para 0,2.
  • De 12 a 13, aumenta para 0,5.
  • De 13 a 25, aumenta para 0,9.
  • Após 25, aumenta para 1.
Isso sugere que X pode assumir os valores: 10, 12, 13 e 25.

Passo 5

Calculando as probabilidades para cada valor de X usando a fórmula p(x) = F(x) - F(x^-):
  1. Para x = 10:
p(10) = F(10) - F(10^-)
Como F(x) = 0 para x < 10, temos:
p(10) = 0,2 - 0 = 0,2
  1. Para x = 12:
p(12) = F(12) - F(12^-)
F(12^-) = F(10 \leq x < 12) = 0,2
p(12) = 0,5 - 0,2 = 0,3
  1. Para x = 13:
p(13) = F(13) - F(13^-)
F(13^-) = F(12 \leq x <13) = 0,5
p(13) = 0,9 - 0,5 = 0,4
  1. Para x = 25:
p(25) = F(25) - F(25^-)
F(25^-) = F(13 \leq x <25) = 0,9
p(25) = 1 - 0,9 = 0,1

Resposta

A função de massa de probabilidade de X é:
p(x) = 0,2, & se x = 10 0,3, & se x = 12 0,4, & se x = 13 0,1, & se x = 25 0, & caso contrário á

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