Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
F(x)=l0, se x<10 ; 0,2, se 10 <= x<12 ; 0,5, se 12 <= x<13 ; 0,9, se 13 <= x<25 ; 1, se x >= 25
Determine:
d) P(12 <= X <= 20)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória e nos dá a função de distribuição dela. O que precisamos encontrar é a probabilidade de estar entre 12 e 20, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição acumulada de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de distribuição F(x) = 0, & se x < 10; 0,2, & se 10 <= x < 12; 0,5, & se 12 <= x < 13; 0,9, & se 13 <= x < 25; 1, & se x >= 25 que foi dada:
Essa função nos diz a probabilidade de ser menor ou igual a um determinado valor .

Passo 3

Para encontrar P(a <= X <= b) = F(b) - F(a^-) , usamos a propriedade da distribuição acumulada que diz:
Aqui, é a probabilidade de ser menor ou igual a , e é a probabilidade de ser menor que .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos P(12 <= X <= 20) = F(20) - F(12^-) e . Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar e usando a função de distribuição fornecida.
  • : Olhando na função, para , . Como 20 está nesse intervalo, .
  • : Isso representa a probabilidade de ser menor que 12. Observando a função, para , . Então, .

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula:
P(12 <= X <= 20) = 0,9 - 0,2 = 0,7

Resposta

A probabilidade de estar entre 12 e 20 é de 0,7.

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