Em uma urna existem 12 bolas numeradas, das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantas formas podemos selecionar 6 bolas da urna, com reposição, de modo que ao menos 2 sejam brancas? E se quisermos que exatamente 2 sejam brancas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de combinação! A gente tem uma urna com 12 bolas — 7 pretas e 5 brancas. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos selecionar 6 bolas, com reposição, de duas formas:
- Pelo menos 2 das bolas sejam brancas.
- Exatamente 2 das bolas sejam brancas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação com reposição e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “com reposição”. Isso quer dizer que, depois de tirar uma bola, a gente volta a colocá-la na urna antes de tirar a próxima. Então, para cada uma das 6 retiradas, sempre teremos as mesmas 12 bolas disponíveis.
Passo 3
Agora, vamos calcular o total de maneiras de selecionar 6 bolas com reposição, sem nenhuma restrição. Como são 12 bolas e cada uma pode ser escolhida em cada retirada, usamos a fórmula de combinações com repetição:
Passo 4
Queremos saber de quantas maneiras podemos ter pelo menos 2 bolas brancas. É mais fácil calcular isso pela complementaridade: primeiro, calculamos todas as possíveis seleções e depois subtraímos as que têm menos de 2 bolas brancas (ou seja, 0 ou 1 branca).
Então:
Passo 5
Vamos calcular as seleções com 0 bolas brancas. Isso significa que todas as 6 bolas são pretas. Como temos 7 bolas pretas:
Passo 6
Agora, as seleções com 1 bola branca. Primeiro, escolhemos em qual das 6 posições estará a bola branca. Existem
maneiras de escolher essa posição. Depois, para a bola branca, temos 5 opções, e para as outras 5 posições (que serão pretas), temos 7 opções cada.
Então:
Passo 7
Substituindo na equação do Passo 4:
Passo 8
Agora, vamos calcular o número exato:
Passo 9
Agora, vamos calcular as maneiras de selecionar exatamente 2 bolas brancas. Primeiro, escolhemos em quais das 6 posições estarão as 2 bolas brancas. Existem
maneiras de fazer isso. Para cada posição branca, temos 5 opções, e para as outras 4 posições (pretas), temos 7 opções cada.
Então:
Passo 10
Calculando os valores:
Resposta
- O número de formas de selecionar 6 bolas com reposição, de modo que ao menos 2 sejam brancas, é 2.364.125.
- O número de formas de selecionar 6 bolas com reposição, de modo que exatamente 2 sejam brancas, é 900.375.