Em uma urna existem 12 bolas numeradas, das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantas formas podemos selecionar 6 bolas da urna, com reposição, de modo que ao menos 2 sejam brancas? E se quisermos que exatamente 2 sejam brancas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de combinação! A gente tem uma urna com 12 bolas — 7 pretas e 5 brancas. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos selecionar 6 bolas, com reposição, de duas formas:
  1. Pelo menos 2 das bolas sejam brancas.
  2. Exatamente 2 das bolas sejam brancas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação com reposição e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “com reposição”. Isso quer dizer que, depois de tirar uma bola, a gente volta a colocá-la na urna antes de tirar a próxima. Então, para cada uma das 6 retiradas, sempre teremos as mesmas 12 bolas disponíveis.

Passo 3

Agora, vamos calcular o total de maneiras de selecionar 6 bolas com reposição, sem nenhuma restrição. Como são 12 bolas e cada uma pode ser escolhida em cada retirada, usamos a fórmula de combinações com repetição:
Total = 12^6

Passo 4

Queremos saber de quantas maneiras podemos ter pelo menos 2 bolas brancas. É mais fácil calcular isso pela complementaridade: primeiro, calculamos todas as possíveis seleções e depois subtraímos as que têm menos de 2 bolas brancas (ou seja, 0 ou 1 branca).
Então:
Manter pelo menos 2 brancas = Total - (Se<=ções com 0 brancas + Se<=ções com 1 branca) çõçõ

Passo 5

Vamos calcular as seleções com 0 bolas brancas. Isso significa que todas as 6 bolas são pretas. Como temos 7 bolas pretas:
Se<=ções com 0 brancas = 7^6 çõ

Passo 6

Agora, as seleções com 1 bola branca. Primeiro, escolhemos em qual das 6 posições estará a bola branca. Existem Se<=ções com 1 branca = binom61 times 5 times 7^5 maneiras de escolher essa posição. Depois, para a bola branca, temos 5 opções, e para as outras 5 posições (que serão pretas), temos 7 opções cada.
Então:
çõ

Passo 7

Substituindo na equação do Passo 4:
Manter pelo menos 2 brancas = 12^6 - (7^6 + 6 times 5 times 7^5)

Passo 8

Agora, vamos calcular o número exato:
12^6 = 2985984
7^6 = 117649
6 times 5 times 7^5 = 6 times 5 times 16807 = 504210
Manter pelo menos 2 brancas = 2985984 - (117649 + 504210) = 2985984 - 621859 = 2364125

Passo 9

Agora, vamos calcular as maneiras de selecionar exatamente 2 bolas brancas. Primeiro, escolhemos em quais das 6 posições estarão as 2 bolas brancas. Existem Exatamente 2 brancas = binom62 times 5^2 times 7^4 maneiras de fazer isso. Para cada posição branca, temos 5 opções, e para as outras 4 posições (pretas), temos 7 opções cada.
Então:

Passo 10

Calculando os valores:
binom62 = 15
5^2 = 25
7^4 = 2401
Exatamente 2 brancas = 15 times 25 times 2401 = 15 times 60025 = 900375

Resposta

  • O número de formas de selecionar 6 bolas com reposição, de modo que ao menos 2 sejam brancas, é 2.364.125.
  • O número de formas de selecionar 6 bolas com reposição, de modo que exatamente 2 sejam brancas, é 900.375.

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