Em uma urna há 18 bolas, das quais 5 são azuis, 3 são vermelhas e 10 são pretas. De quantas formas podemos retirar, sem reposição, duas bolas de cada cor?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma urna com 18 bolas: 5 azuis, 3 vermelhas e 10 pretas. A pergunta é: de quantas maneiras podemos retirar, sem reposição, duas bolas de cada cor? Aqui, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de combinar elementos de um conjunto. Precisaremos calcular as combinações para cada cor e depois multiplicar esses resultados para encontrar o total de maneiras possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher duas bolas azuis das 5 disponíveis. Para isso, usamos a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10 é o total de itens e é o número de itens que queremos escolher.
Então, para as bolas azuis:
Existem 10 maneiras de escolher duas bolas azuis.

Passo 3

Agora, vamos para as duas bolas vermelhas das 3 disponíveis.
Usando a mesma fórmula de combinação:
C(3, 2) = 3!2!(3 - 2)! = 3 times 22 times 1 = 3
Então, há 3 maneiras de escolher duas bolas vermelhas.

Passo 4

Por fim, vamos calcular para as duas bolas pretas das 10 disponíveis.
Aplicando a fórmula:
C(10, 2) = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45
Portanto, existem 45 maneiras de escolher duas bolas pretas.

Passo 5

Agora que temos o número de maneiras para cada cor, precisamos encontrar o total de maneiras de retirar duas bolas de cada cor simultaneamente. Como a escolha de cada cor é independente, multiplicamos os resultados:
Total = C(5, 2) times C(3, 2) times C(10, 2) = 10 times 3 times 45 = 1350

Resposta

Existem 1.350 maneiras de retirar, sem reposição, duas bolas de cada cor.

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