Uma urna tem 4 bolas rosas e 3 azuis. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja : número de bolas rosas e Y: número de bolas azuis, determine a distribuição de probabilidades de e , .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 4 bolas rosas e 3 azuis. A gente vai tirar 3 bolas dessa urna sem colocar de volta. Definimos como o número de bolas rosas tiradas e como o número de bolas azuis tiradas. Nosso objetivo é descobrir a distribuição de probabilidade de e , além de calcular a esperança matemática ( e ) e a variância ( e ). Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como temos 4 rosas e 3 azuis, e vamos tirar 3 bolas, pode variar de 0 a 3 (ou seja, tirar nenhuma, uma, duas ou três bolas rosas). Correspondentemente, será (já que o total de bolas tiradas é 3).
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de . Para isso, usamos a fórmula de probabilidade combinatória:
Onde:
é o número de maneiras de escolher bolas rosas.
é o número de maneiras de escolher bolas azuis.
é o total de maneiras de escolher 3 bolas de 7.
Passo 4
Vamos calcular cada caso:
(nenhuma bola rosa, todas azuis):
(uma bola rosa e duas azuis):
(duas bolas rosas e uma azul):
(três bolas rosas e nenhuma azul):
Passo 5
Agora que temos as probabilidades para cada valor de , a distribuição de probabilidades de e fica assim:
0
3
1
2
2
1
3
0
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança matemática . A fórmula é:
Calculando cada termo:
Como , a esperança será:
Passo 7
Vamos agora calcular a variância . A fórmula da variância é: