Uma urna tem 4 bolas rosas e 3 azuis. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X : número de bolas rosas e Y: número de bolas azuis, determine a distribuição de probabilidades de X e Y, E(X), E(Y), D P(X), D P(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 4 bolas rosas e 3 azuis. A gente vai tirar 3 bolas dessa urna sem colocar de volta. Definimos como o número de bolas rosas tiradas e como o número de bolas azuis tiradas. Nosso objetivo é descobrir a distribuição de probabilidade de e , além de calcular a esperança matemática ( e ) e a variância ( e ). Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como temos 4 rosas e 3 azuis, e vamos tirar 3 bolas, pode variar de 0 a 3 (ou seja, tirar nenhuma, uma, duas ou três bolas rosas). Correspondentemente, será (já que o total de bolas tiradas é 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de P(X = k) = binom4k times binom33 - kbinom73 . Para isso, usamos a fórmula de probabilidade combinatória:
Onde:
  • é o número de maneiras de escolher bolas rosas.
  • é o número de maneiras de escolher bolas azuis.
  • é o total de maneiras de escolher 3 bolas de 7.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. P(X = 0) = binom40 times binom33binom73 = 1 times 135 = 135 (nenhuma bola rosa, todas azuis):
P(X = 1) = binom41 times binom32binom73 = 4 times 335 = 1235
  1. P(X = 2) = binom42 times binom31binom73 = 6 times 335 = 1835 (uma bola rosa e duas azuis):
P(X = 3) = binom43 times binom30binom73 = 4 times 135 = 435
  1. (duas bolas rosas e uma azul):
  1. (três bolas rosas e nenhuma azul):

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de , a distribuição de probabilidades de e fica assim:
0 3
1 2
2 1
3 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança matemática E(X) = sum (k times P(X = k)) . A fórmula é:
E(X) = 0 times 135 + 1 times 1235 + 2 times 1835 + 3 times 435 = 0 + 1235 + 3635 + 1235 = 6035 = 127 approx 1,714
Calculando cada termo:
E(Y) = 3 - E(X) = 3 - 127 = 97 approx 1,286
Como , a esperança será:

Passo 7

Vamos agora calcular a variância D P(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A fórmula da variância é:
E(X^2) = sum (k^2 times P(X = k)) = 0^2 times 135 + 1^2 times 1235 + 2^2 times 1835 + 3^2 times 435 = 0 + 1235 + 7235 + 3635 = 12035 = 247 approx 3,429
Primeiro, calculamos D P(X) = 247 - ( 127 )^2 = 247 - 14449 = 16849 - 14449 = 2449 approx 0,49 :
D P(Y) = D P(X) = 2449 approx 0,49
Agora, calculamos a variância:
Como , a variância será igual à variância de :

Resposta

A distribuição de probabilidades é:
E(X) = 127 approx 1,714, E(Y) = 97 approx 1,286 D P(X) = D P(Y) = 2449 approx 0,49
0 3
1 2
2 1
3 0
As esperanças e variâncias são:

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