Uma urna tem 4 bolas rosas e 3 azuis. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja : número de bolas rosas e Y: número de bolas azuis, determine a distribuição de probabilidades de e , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 4 bolas rosas e 3 azuis. A gente vai tirar 3 bolas dessa urna sem colocar de volta. Definimos como o número de bolas rosas tiradas e como o número de bolas azuis tiradas. Nosso objetivo é descobrir a distribuição de probabilidade de e , além de calcular a esperança matemática ( e ) e a variância ( e ). Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como temos 4 rosas e 3 azuis, e vamos tirar 3 bolas, pode variar de 0 a 3 (ou seja, tirar nenhuma, uma, duas ou três bolas rosas). Correspondentemente, será (já que o total de bolas tiradas é 3).

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de . Para isso, usamos a fórmula de probabilidade combinatória:
Onde:
  • é o número de maneiras de escolher bolas rosas.
  • é o número de maneiras de escolher bolas azuis.
  • é o total de maneiras de escolher 3 bolas de 7.

Passo 4

Vamos calcular cada caso:
  1. (nenhuma bola rosa, todas azuis):
  1. (uma bola rosa e duas azuis):
  1. (duas bolas rosas e uma azul):
  1. (três bolas rosas e nenhuma azul):

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de , a distribuição de probabilidades de e fica assim:
0 3
1 2
2 1
3 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança matemática . A fórmula é:
Calculando cada termo:
Como , a esperança será:

Passo 7

Vamos agora calcular a variância . A fórmula da variância é:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos a variância:
Como , a variância será igual à variância de :

Resposta

A distribuição de probabilidades é:
0 3
1 2
2 1
3 0
As esperanças e variâncias são:

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A função de probabilidade de uma v.a. é dada por
constante.
Determine:
a) ; R.:
(Valor 10 pts) Calcule a ;
Seja uma v.a. cuja distribuição de probabilidade é dada por:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,3 0,4 0,1 0,05 0,05
b) Calcule:
ii) ;
Se e , os eventos e são independentes?