Uma urna tem 4 bolas rosas e 3 azuis. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja
: número de bolas rosas e Y: número de bolas azuis, determine a distribuição de probabilidades de
e
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 4 bolas rosas e 3 azuis. A gente vai tirar 3 bolas dessa urna sem colocar de volta. Definimos
como o número de bolas rosas tiradas e
como o número de bolas azuis tiradas. Nosso objetivo é descobrir a distribuição de probabilidade de
e
, além de calcular a esperança matemática (
e
) e a variância (
e
). Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possíveis combinações de bolas que podemos tirar. Como temos 4 rosas e 3 azuis, e vamos tirar 3 bolas,
pode variar de 0 a 3 (ou seja, tirar nenhuma, uma, duas ou três bolas rosas). Correspondentemente,
será
(já que o total de bolas tiradas é 3).
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
. Para isso, usamos a fórmula de probabilidade combinatória:
Onde:
-
é o número de maneiras de escolher bolas rosas. -
é o número de maneiras de escolher bolas azuis. -
é o total de maneiras de escolher 3 bolas de 7.
Passo 4
Vamos calcular cada caso:
-
(nenhuma bola rosa, todas azuis):
-
(uma bola rosa e duas azuis):
-
(duas bolas rosas e uma azul):
-
(três bolas rosas e nenhuma azul):
Passo 5
Agora que temos as probabilidades para cada valor de
, a distribuição de probabilidades de
e
fica assim:
|
|
|
---|---|---|
0 | 3 |
|
1 | 2 |
|
2 | 1 |
|
3 | 0 |
|
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança matemática
. A fórmula é:
Calculando cada termo:
Como
, a esperança
será:
Passo 7
Vamos agora calcular a variância
. A fórmula da variância é:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos a variância:
Como
, a variância
será igual à variância de
:
Resposta
A distribuição de probabilidades é:
|
|
|
---|---|---|
0 | 3 |
|
1 | 2 |
|
2 | 1 |
|
3 | 0 |
|
As esperanças e variâncias são: