Usando coordenadas cilíndricas ou esféricas, determine o volume do sólido S determinado pela regiao limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e acima pelo parabolóide z = x^2 + y^2 + 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está entre o plano (que é o chão), lateralmente limitado por um cilindro (uma espécie de tubo com raio 1) e acima por um parabolóide . Vamos usar coordenadas cilíndricas pra facilitar a coisa, porque o cilindro já se adapta bem a esse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, , e . A equação do cilindro fica simplesmente . O parabolóide vira .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre e . Para , como o cilindro é , nossa variável vai de 0 a 1. E para , como estamos lidando com um cilindro completo, vai de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui, o é o fator de escala que vem da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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