Usando coordenadas cilíndricas ou esféricas, determine o volume do sólido determinado pela regiao limitada abaixo pelo plano , lateralmente pelo cilindro e acima pelo parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está entre o plano (que é o chão), lateralmente limitado por um cilindro (uma espécie de tubo com raio 1) e acima por um parabolóide . Vamos usar coordenadas cilíndricas pra facilitar a coisa, porque o cilindro já se adapta bem a esse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, , e . A equação do cilindro fica simplesmente . O parabolóide vira .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre e . Para , como o cilindro é , nossa variável vai de 0 a 1. E para , como estamos lidando com um cilindro completo, vai de 0 a .
Passo 4
Vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Aqui, o é o fator de escala que vem da mudança para coordenadas cilíndricas.