Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
sumk=1^infty(-1)^k+1 ln kk

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o critério para série alternada para mostrar que a série converge. Então, primeiro, vamos entender o que é uma série alternada e qual é o critério que vamos usar para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal a cada passo, ou seja, positivos e negativos se alternam. No caso da nossa série, o termo faz isso acontecer.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o critério da série alternada. Esse critério diz que a série converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos, decrescentes e
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos identificar na nossa série. Aqui, . Precisamos verificar se:
  1. para todo ,
  2. é decrescente,
  3. .

Passo 5

Primeiro, é positivo para todo porque o logaritmo natural de um número maior que 1 é positivo e também é positivo.

Passo 6

Agora, vamos ver se f'(k) = 1 cdot k - ln k cdot 1k^2 = k - ln kk^2 é decrescente. Para isso, podemos observar que conforme aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador ( ), fazendo com que diminua. Outra maneira é calcular a derivada de e verificar se é negativa:
Para , , mas como estamos dividindo por , a função geral ainda diminui.

Passo 7

Por último, vamos calcular o limite de limk to infty ln kk = 0 quando tende ao infinito:
Isso porque o logaritmo cresce muito mais devagar que , então a fração tende a zero.

Resposta

Como as condições do critério para série alternada são satisfeitas (os termos são positivos, decrescentes e o limite é zero), a série converge.

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