Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o critério para série alternada para mostrar que a série
converge. Então, primeiro, vamos entender o que é uma série alternada e qual é o critério que vamos usar para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, uma série alternada é aquela onde os termos mudam de sinal a cada passo, ou seja, positivos e negativos se alternam. No caso da nossa série, o termo
faz isso acontecer.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o critério da série alternada. Esse critério diz que a série
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos, decrescentes e - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
Vamos identificar
na nossa série. Aqui,
. Precisamos verificar se:
-
para todo , -
é decrescente, -
.
Passo 5
Primeiro,
é positivo para todo
porque o logaritmo natural de um número maior que 1 é positivo e
também é positivo.
Passo 6
Agora, vamos ver se
é decrescente. Para isso, podemos observar que conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador (
), fazendo com que
diminua. Outra maneira é calcular a derivada de
e verificar se é negativa:
Para
,
, mas como estamos dividindo por
, a função geral ainda diminui.
Passo 7
Por último, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso porque o logaritmo cresce muito mais devagar que
, então a fração tende a zero.
Resposta
Como as condições do critério para série alternada são satisfeitas (os termos são positivos, decrescentes e o limite é zero), a série
converge.