Usando o critério da integral, determine a convergência de:
sumk=2^infty 1k ln ^2 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=2^infty 1k ln ^2 k
E queremos saber se essa série converge ou diverge usando o critério da integral. Para isso, vamos lembrar que usaremos o cálculo de integrais para comparar com a série e determinar seu comportamento.

Passo 2

O critério da integral nos diz que, para uma função positiva, contínua e decrescente f(k), a série sumk=2^infty f(k) converge se e somente se a integral integral2^infty f(x) , dx também converge. No nosso caso, f(k) = 1k ln^2 k.

Passo 3

Vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x ln^2 x , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição u = ln x. Então, du = 1x dx.

Passo 4

Com a substituição, a integral fica:
integralu=ln 2^infty 1u^2 , du
Integrando, obtemos:
- 1u |ln 2^infty = 0 - (-1ln 2) = 1ln 2
Como o resultado é um número finito, a integral converge.

Resposta

Pelo critério da integral, a série sumk=2^infty 1k ln ^2 k converge.

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