Usando o critério da integral, determine a convergência de:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
E queremos saber se essa série converge ou diverge usando o critério da integral. Para isso, vamos lembrar que usaremos o cálculo de integrais para comparar com a série e determinar seu comportamento.
Passo 2
O critério da integral nos diz que, para uma função positiva, contínua e decrescente , a série converge se e somente se a integral também converge. No nosso caso, .
Passo 3
Vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição . Então, .
Passo 4
Com a substituição, a integral fica:
Integrando, obtemos:
Como o resultado é um número finito, a integral converge.
Resposta
Pelo critério da integral, a série sumk=2^infty 1k ln ^2 kconverge.