Usando o critério da integral, determine a convergência de:
sumk=1^infty 1k^2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma série infinita da forma sumk=1^infty 1k^2+1. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o critério da integral. Para resolver isso, precisaremos conhecer o critério da integral e saber como aplicá-lo a séries que podem ser comparadas a integrais.

Passo 2

O critério da integral nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. A ideia é que se temos uma função contínua, positiva e decrescente f(x) para x >= 1, então a série sumk=1^infty f(k) e a integral integral1^infty f(x) , dx terão o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.

Passo 3

Vamos identificar a função f(x) correspondente à nossa série. No nosso caso, f(k) = 1k^2+1. Para aplicar o critério da integral, precisamos verificar se f(x) = 1x^2+1 é contínua, positiva e decrescente para x >= 1.

Passo 4

Analisando a função f(x) = 1x^2+1:
  • Contínua: A função é contínua para todos os valores de x, já que o denominador x^2+1 nunca é zero.
  • Positiva: Para todo x, x^2+1 é sempre maior que zero, então f(x) é positiva.
  • Decrescente: A derivada de f(x) é f'(x) = -2x(x^2+1)^2, que é negativa para x > 0, indicando que a função é decrescente.

Passo 5

Como f(x) atende aos critérios (contínua, positiva e decrescente) para x >= 1, podemos aplicar o critério da integral. Vamos calcular a integral integral1^infty 1x^2+1 , dx.

Passo 6

A integral de 1x^2+1 é uma integral conhecida:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C
Portanto, vamos calcular o limite:
integral1^infty 1x^2+1 , dx = limb to infty [ arctan(b) - arctan(1) ]

Passo 7

Sabemos que arctan(1) = pi4 e que limb to infty arctan(b) = pi2. Substituindo esses valores:
limb to infty [ pi2 - pi4 ] = pi4
Como o resultado é finito ( pi4), a integral converge.

Passo 8

De acordo com o critério da integral, se a integral integral1^infty f(x) , dx converge, então a série sumk=1^infty f(k) também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty 1k^2+1 converge pelo critério da integral.

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