Usando o critério da integral, determine a convergência de:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma série infinita da forma
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o critério da integral. Para resolver isso, precisaremos conhecer o critério da integral e saber como aplicá-lo a séries que podem ser comparadas a integrais.
Passo 2
O critério da integral nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. A ideia é que se temos uma função contínua, positiva e decrescente
para
, então a série
e a integral
terão o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.
Passo 3
Vamos identificar a função
correspondente à nossa série. No nosso caso,
. Para aplicar o critério da integral, precisamos verificar se
é contínua, positiva e decrescente para
.
Passo 4
Analisando a função
:
- Contínua: A função é contínua para todos os valores de
, já que o denominador nunca é zero. - Positiva: Para todo
, é sempre maior que zero, então é positiva. - Decrescente: A derivada de
é , que é negativa para , indicando que a função é decrescente.
Passo 5
Como
atende aos critérios (contínua, positiva e decrescente) para
, podemos aplicar o critério da integral. Vamos calcular a integral
.
Passo 6
A integral de
é uma integral conhecida:
Portanto, vamos calcular o limite:
Passo 7
Sabemos que
e que
. Substituindo esses valores:
Como o resultado é finito (
), a integral converge.
Passo 8
De acordo com o critério da integral, se a integral
converge, então a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo critério da integral.